剑指Offer-49：丑数

题目描述

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。 习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

什么叫质因子

以255这个数为例讲解
质因子就是质数的因子，也称质因数或质约数。 255的因子有1 、3、5、15、17、51、85、255。其中是质数的是1、3、5、17 所以255的质因子就是1、3、5、17。所以最大质因子是17。55不是255的因子，也不是质数，当然不是255的最大质因子。

解题思路

判断一个数是不是丑数，最简单的方法就是让这个数不断除以2，3，5。要求第N个丑数，只要从1开始，依次判断每个数是不是丑数，如果是，则相应的序号加1，直到序号为N，就是我们要的丑数了。

方法一：
根据丑数的定义，丑数只能被2、3、5整除，因此，如果一个数能够被2整除，就连续除以2，能被3整除就连续整除3，能被5整除就连续除以5 。如果最后得到的结果为1，那么这个数就是整数，否则不是。因此通过一个函数用于判断该数是否为丑数，然后遍历找到对应位置的数字就好了。

class Solution1{
   /// 用于遍历数字是否为丑数，从而找出指定位置的丑数
   public int GetUglyNumber(int index){
       if (index <= 0)
           return 0;

       int number = 0;                         //递增的数字，用于判断是否为丑数
       int uglyNumber = 0;                     //丑数的数量

       //如果丑数的数量到达所要求的第index位了，则输出它
       while (uglyNumber < index) {
           number++;
           if (IsUgly(number))
               uglyNumber++;
       }

       return number;
   }

   /// 用于判断一个数是否为丑数，即能够整除2、3、5之后，最后得到的因子为1，则为丑数
   public bool IsUgly(int number){
       //能被2整除，则连续除以2
       while (number % 2 == 0)
           number /= 2;
       //能被3整除，则连续除以3
       while (number % 3 == 0)
           number /= 3;
       //能被5整除，则连续除以5
       while (number % 5 == 0)
           number /= 5;
       //除完之后的结果如果为1，说明其不包含其他因子，返回真，否则返回假
       return number == 1 ? true : false;
   }
}

优缺点： 方法十分直观，输入1500之后就能够得到第1500个丑数，代码也十分简洁。但是最大的问题就是计算量太大，时间效率不够高，对于每一个数不管是否为丑数我们都会去进行求余和除法操作，因此需要寻找新的更优算法才行。
这种方法时间效率很，通常面试官不会满意这样的答案。因此我们需要一个时间复杂度更低的解法。

方法二：额外定义个缓存数组，将丑数存下来
换个思路，我们只求丑数，不要去管非丑数。每个丑数必然是由小于它的某个丑数乘以2，3或5得到的，这样我们把求得的丑数都保存下来，用之前的丑数分别乘以2，3，5，找出这三这种最小的并且大于当前最大丑数的值，即为下一个我们要求的丑数。这种方法用空间换时间，时间复杂度为O(n)。

注意里面使用3个变量跟踪的技巧：
t2表示该位置之前的数都乘过2了
t3表示该位置之前的数都乘过3了
t5表示该位置之前的数都乘过5了

public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 0)
            return 0;
        if(index == 1)
            return 1;
        int t2 = 0, t3 = 0, t5 = 0;
        int [] res = new int[index];
        res[0] = 1;
        for(int i = 1; i

与第一种思路相比，第二种思路不需要在非丑数的整数上进行任何计算，因此时间效率会有显著的提升。但是，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第1500个丑数，则将创建一个能够容纳1500个整数的数组，这个数组占据6KB的内容空间。而第一种思路则没有这样的内存开销。总体上来说，第二种思路相当于用较小的空间消耗换取了时间效率的提升，还是比较好的了。

在这里有点提及就是： 硬件的发展一直遵循着摩尔定律，内存的容量基本上每个18个月就会翻一番，由于内存的容量增加迅速，在软件开发的过程中，更多的时候对于牺牲一定空间优化时间性能的做法是允许的，以尽可能地缩短软件的响应时间。也就是算法中长提及的“空间换时间”。