Matlab-多项式及数值微积分

08多项式和数值微积分

1.Polynomial differentiation and integration 多项式

Differentiation微分

• 例如 f(x) = x^3 -2x -5 ,用一个矩阵接收他们的系数表示一个多项式 --> p = [1 0 -2 5];

• Plot the polynomial 给出定义域画图 for -2<=x<=5

• polyval(多项式,定义域) 通过定义域和多项式 生成多项式函数

  a = [9,-5,3,7]; x = -2:0.01:5;
  f = polyval(a,x);
  plot(x,f,'LineWidth', 2);
  xlabel('x'); ylabel('f(x)');
  set(gca, 'FontSize', 14)
  

  

• 微分:polyder(多项式) --> 返回一个新的多项式 代表原来函数的微分

• 如果要求一个点的微分

  • p = [5 0 -2 0 1]; polyder§;
  • polyval(polyder§,7);

• 两个多项式相乘时,两个多项式用两个矩阵接收,利用conv卷积函数进行合并

  • a = [20 -7 5 10]; b = [4 12 -3]; x = -2:0.01:1
  • f = conv(a,b);plot(x,f,‘Linewidth’,2);

Integration积分

• polyint(多项式,常数项) 返回一个多项式，为原函数的积分，C即为输入的常数项

2.Numerical differentiation and intetration

数值微分

• diff() 计算单行矩阵 每个元素之间的差 （Δ）

  x = [1 2 5 2 1];
  diff(x)
  ans = 1 3 -3 -1
  

• 两点连线之间的斜率

  x = [1 2]; y = [5 7];    %代表的不是两个点,而是两个点的x,y坐标 两个点为(1,5),(2,7)
  slope = diff(y)./diff(x)   %y = y2 -y1  ;x = x2 - x1;
  

• f(x)= sinx 在 pi/2处 h=0.1的微分

  x0 = pi/2; h = 0.1;
  x = [x0 x0+h];
  y = [sin(x0) sin(x0+h)];
  m = diff(y)./diff(x)
  

• f(x) 在(0,2π) 的微分

  1. 创建一个数组 x= [0,2π]
  2. 设置步长step 为h x=[0,0+h,0+2h,······,2π] ; f(x) = [f(0),f(0+h),f(0+2h),······,f(2π)];
  3. 用diff(y)./diff(x) 计算这些点的微分

• for example:

  h = 0.5; x = 0:h:2*pi;
  y = sin(x); m = diff(y)./diff(x);
  

g = colormap(lines); hold on;
for i=1:4
x = 0:power(10, -i):pi;
y = sin(x); m = diff(y)./diff(x);
plot(x(1:end-1), m, 'Color', g(i,:));
end
hold off;
set(gca, 'XLim', [0, pi/2]); set(gca, 'YLim', [0, 1.2]);
set(gca, 'FontSize', 18); set(gca, 'FontName', 'symbol');
set(gca, 'XTick', 0:pi/4:pi/2);
set(gca, 'XTickLabel', {'0', 'p/4', 'p/2'});
h = legend('h=0.1','h=0.01','h=0.001','h=0.0001');
set(h,'FontName', 'Times New Roman'); box on;

二阶微分

• 由于微分会减少一项,所以二阶微分的自变量x也应该少一个

  x = -2:0.005:2; y = x.^3;
  m = diff(y)./diff(x);
  m2 = diff(m)./diff(x(1:end-1));
  

数值积分

柱形积分

• h = 0.05; x = 0:h:2;
  midpoint = (x(1:end-1)+x(2:end))./2;
  y = 4*midpoint.^3;
  s = sum(h*y)     %s 即为 4x^3从0-2的积分
  

梯形积分

• h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
  s = h*trapz(y)
  
  

• 或者

• h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
  trapezoid = (y(1:end-1)+y(2:end))/2;
  s = h*sum(trapezoid)
  
  

辛普森Simpson规则积分

• h = 0.05; x = 0:h:2; y = 4*x.^3;
  s = h/3*(y(1)+2*sum(y(3:2:end-2))+...
  4*sum(y(2:2:end))+y(end))
  
  

自建函数绘制函数图像——函数指针(句柄)

写一个函数，传递函数指针和定义域作为参数，可以直接绘制函数指针指向的函数的图像。

function [y] = xy_plot(input,x)
% xy_plot receives the handle of a function
% and plots that function of x
y = input(x); plot(x,y,'r--');
xlabel('x'); ylabel('function(x)');
end

匿名函数计算数值积分——integral()函数

y = @(x) 1./(x.^3-2*x-5);      %一重积分求面积
integral(y,0,2)         %传参:函数指针,下限，上限

二重积分,三重积分——integral2() integral3()

f = @(x,y) y.*sin(x)+x.*cos(y);   %二重积分求体积
integral2(f,pi,2*pi,0,pi) %传参: 函数指针,下限，上限，下限，上限

f = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(y);
integral3(f,0,pi,0,1,-1,1)