剑指offer(49-丑数) 题解

剑指offer-49-丑数

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题目

把只包含质因子2、3和5的数称作丑数（Ugly Number）。例如6、8都是丑数，但14不是，因为它包含质因子7。习惯上我们把1当做是第一个丑数。求按从小到大的顺序的第N个丑数。

思路1-遍历法

使用遍历法求第k个丑数，从1开始遍历，如果是丑数则count++，直到count=k为止。那么如何判断丑数呢？根据丑数的定义，丑数只有2，3，5这三个因子，那么我们就拿数字除以这三个因子。具体算法如下：

•Step1.如果一个数能够被2整除，那么让他继续除以2；
•Step2.如果一个数能够被3整除，那么让他继续除以3；
•Step3.如果一个数能够被5整除，那么让他继续除以5；
•Step4.如果最后这个数变为1，那么这个数就是丑数，否则不是。

上代码

public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 0){
            return 0;
        }

        int number = 0;
        int uglyFound = 0;
        while(uglyFound < index){
            number ++;
            if(isUgly(number)){
                uglyFound++;
            }
        }
        return number;
    }

    public boolean isUgly(int number){
        while(number % 2 == 0){
            number /= 2;
        }
        while(number % 3 == 0){
            number /= 3;
        }
        while(number % 5 == 0){
            number /= 5;
        }
        return (number == 1) ? true : false;
    }
}

思路2-空间换时间

根据丑数的定义，我们可以知道丑数可以由另外一个丑数乘以2，3或者5得到。因此我们可以创建一个数组，里面的数字是排好序的丑数，每一个丑数都是前面的丑数乘以2，3或者5得到的。
事实上我们不需要每次都计算前面所有丑数乘以2，3，5的结果，然后再比较大小。因为在已存在的丑数中，一定存在某个数T2，在它之前的所有数乘以2都小于已有丑数，而T2×2的结果一定大于最大的丑数，同理，也存在这样的数T3，T5，我们只需要标记这三个数即可。
首先，丑数都是由前5个丑数1，2，3，4，5乘以因子2，3，5才得到的。这里将得到的丑数都存放在数组中。分析一下得到第6个丑数的过程，其他丑数类比。
将前5个丑数乘以2，然后与第5个丑数进行比较，找出第一个乘以2大于第5个丑数的丑数，将其放在min2中。
将前5个丑数乘以3，然后与第5个丑数进行比较，找出第一个乘以3大于第5个丑数的丑数，将其放在min3中。
将前5个丑数乘以5，然后与第5个丑数进行比较，找出第一个乘以5大于第5个丑数的丑数，将其放在min5中。
经过上述，第6个丑数必然是min2,min3,min5中最小的那个丑数。比较这三个数，就可以得到第6个丑数。

上代码

public class Solution {
    public int GetUglyNumber_Solution(int index) {
        if(index <= 0){
            return 0;
        }
        if(index == 1){
            return 1;
        }

        int[] uglyNumbers = new int[index];
        uglyNumbers[0] = 1;
        int nextUglyIndex = 1;
        int ugly2 = 0;
        int ugly3 = 0;
        int ugly5 = 0;

        while(nextUglyIndex < index){
            int min = Math.min(uglyNumbers[ugly2] * 2, Math.min(uglyNumbers[ugly3] * 3, uglyNumbers[ugly5] * 5));
            uglyNumbers[nextUglyIndex] = min;

            while(uglyNumbers[ugly2] * 2 <= uglyNumbers[nextUglyIndex]){
                ugly2 ++;
            }
            while(uglyNumbers[ugly3] * 3 <= uglyNumbers[nextUglyIndex]){
                ugly3 ++;
            }
            while(uglyNumbers[ugly5] * 5 <= uglyNumbers[nextUglyIndex]){
                ugly5 ++;
            }
            nextUglyIndex ++;
        }

        int uglyNum = uglyNumbers[nextUglyIndex-1];

        return uglyNum;
    }
}

思考

和第一种方案相比，第二种方案不需要在非丑数的整数上做任何计算，因此时间效率有明显提升。但也需要指出，第二种算法由于需要保存已经生成的丑数，因此需要一个数组，从而增加了空间消耗。如果是求第1500个丑数，将创建一个能容纳1500个丑数的数组，这个数组占内存6KB。

References

[1] 《剑指offer(第二版)》 何海涛著

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