ACM 数论 欧拉定理证明 和 费马小定理 及其性质

欧拉函数 ：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。 

完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：
对于素数 p ，φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1)  。
这是因为 Zn = {1, 2, 3,  ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) =   p(q-1) - ( q-1)
=  (p -1) * (q -1)  ＝φ(p) * φ(q) 。（ 类似于素数线性筛）

欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n)  ≡ 1 ( mod n )  。

证明：
( 1 ) 令 Zn = {x1, x2, ..., xφ(n)} ， S = {a * x1 mod n, a * x2 mod n, ... , a * xφ(n) mod n} ，
        则 Zn = S 。
        ① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * xi  与 n 互质，所以 a * xi  mod n ∈ Zn 。
        ② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 a * xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）。

( 2 ) ( a^φ(n)  ) * x1 * x2 *... * xφ(n) mod n 
      ≡ (a * x1) * (a * x2) * ... * (a * xφ(n) ) mod n
      ≡ (a * x1 mod n) * (a * x2 mod n) * ... * (a * xφ(n) mod n) mod n
      ≡  x1 * x2 * ... * xφ(n) mod n
      对比等式的左右两端，因为 xi  (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n)  ≡  1 (mod n)

    （消去律）。
注：

如果 gcd(c,p) != 1 ,则推不出来   ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^(p - 1) ≡ 1( mod p ) 。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

补充：欧拉函数公式

( 1 ) pk 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = p^k ，

φ(n) = p^k - p^(k -1)
 
证明：
小于 p^k 的正整数个数为 p^k - 1个，其中
和 p^k 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (p^(k - 1)  -1 ) } 共计 p^(k - 1 )- 1 个
所以 φ(n) = p^k - 1 - ( p^(k - 1) - 1) = p^k - p^(k - 1)  。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
根据中国余数定理，有
Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积（ 运用算术基本定理 ）：

 设 n =（ p1^a1）*（p2^a2）…（pk^ak）为正整数 n 的素数幂分解，

     那么ϕ(n) = n( 1−1/p1 )( 1−1/p2 )…( 1−1/pk )  ，

 注意：n = （p1^a1）*（p2^a2）…（pk^ak） 
 而   ： ϕ(pk^ak)=（pk^ak）−（ pk^（ak−1）  ）=（ pk^ak ）( 1−1/pk ) 
 证明：

 因为      ϕ( n ) = ϕ(p1^a1)ϕ(p2^a2)…ϕ(pk^ak),

 又因为   ϕ(pk^ak) =（pk^ak）−（pk^ （ak −1 ） ）

 于是有 ： ϕ(n) =（ p1^a1）*（ p2^a2 ）…（ pk^ak ）(1−1/p1)(1−1/p2)

                 …(1−1/pk) =  n( 1−1/p1)(1−1/p2)…(1−1/pk)

 故 ，      ϕ(n) = n( 1−1/p1 )( 1−1/p2 )…( 1−1/pk ) 得证

欧拉函数模板

// 直接求
long long Euler( long long n ){
  	 long long res = n;
	 for( long long i =2 ;i*i<=n;i++){
	 	if( n %i == 0 ){
			n/=i;
			res = res - res/i;
		}
 		while( n % i==0)
		 n/=i;
	 }
     if( n > 1 )
	     res = res - res/n;
     return res;
}