三个重要的同余式——威尔逊定理，费马小定理，欧拉定理（扩展）

首先要明白，以a≡b(modn)为例子

“≡”是数论中表示同余的符号（注意！！这个不是恒等号）

同余的定义是这样的:

给定一个正整数n，如果两个整数a和b满足a-b能被n整除，即(a-b)modn=0，
那么就称整数a与b对模n同余，记作a≡b(modn)，同时可成立amodn=b。

也就是相当于a被n整除余数等于b的意思。

威尔逊定理

(p−1)!≡p−1≡−1   (mod p)  (p是素数)

((p−1)!)%p=p−1

例题：

HDU 2973 YAPTCHA (威尔逊定理及其逆定理)

解题报告见http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/18728157

费马小定理

假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么

a^(p-1) ≡1（mod p）即 ( a^(p-1) )%p = 1

我们可以利用费马小定理来简化幂模运算：由于a^(p-1)≡a^0≡1(mod p)，所以a^x(mod p)有循环节，长度为p-1，所以a^x≡a^(x%(p-1))(mod p)

例如，计算    除以13的余数，先计算100%（13-1）=4，然后计算(2^(4))%13=3;

故余数为3。

欧拉定理

首先明白欧拉函数：对正整数n，欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目（φ(1)=1）

例如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。若n为质数则

若a,m为正整数，且gcd(a,m) = 1，则

a^φ(m)≡1(mod m)

我们亦可以利用欧拉定理来简化幂模运算：a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

求幂大法（广义欧拉定理）

我们将a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)变下形：

由于a^φ(m)≡1(mod m)

a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(mod m)

 

对于同余式a^b≡x(mod m)，如何求出x？（1<=a,m<=1000000000，1<=b<=10^1000000）

注意到b很大，我们可以先采取一些方法降幂。

若gcd(a,m)=1，那么使用欧拉定理即可：a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)

若gcd(a,m)>1，且b>φ(m)，则有“求幂大法”——a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)

（当b<=φ(m)时直接用快速幂即可）

以上所有证明可以参考synapse7