三个重要的同余式——威尔逊定理,费马小定理,欧拉定理(扩展)

首先要明白,以a≡b(modn)为例子

“≡”是数论中表示同余的符号(注意!!这个不是恒等号

同余的定义是这样的:

给定一个正整数n,如果两个整数a和b满足a-b能被n整除,即(a-b)modn=0,
那么就称整数a与b对模n同余记作a≡b(modn)同时可成立amodn=b

也就是相当于a被n整除余数等于b的意思。

威尔逊定理

(p−1)!≡p−1≡−1   (mod p)  (p是素数)

((p−1)!)%p=p−1

例题:

HDU 2973 YAPTCHA (威尔逊定理及其逆定理)

解题报告见http://blog.csdn.net/synapse7/article/details/18728157

费马小定理

假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么

a^(p-1) ≡1(mod p)即 ( a^(p-1) )%p = 1

我们可以利用费马小定理来简化幂模运算:由于a^(p-1)≡a^0≡1(mod p),所以a^x(mod p)有循环节,长度为p-1,所以a^x≡a^(x%(p-1))(mod p)

例如,计算    除以13的余数,先计算100%(13-1)=4,然后计算(2^(4))%13=3;

故余数为3。

欧拉定理

首先明白欧拉函数:对正整数n,欧拉函数是小于n的正整数中与n互质的数的数目(φ(1)=1)

例如φ(8)=4,因为1,3,5,7均和8互质。若n为质数则

若a,m为正整数,且gcd(a,m) = 1,则

a^φ(m)≡1(mod m)

我们亦可以利用欧拉定理来简化幂模运算:a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)

求幂大法(广义欧拉定理)

我们将a^x≡a^(x%φ(m))(mod m)变下形:

由于a^φ(m)≡1(mod m)

a^x≡a^(x%φ(m))≡a^(x%φ(m)+φ(m))(mod m)

 

对于同余式a^b≡x(mod m),如何求出x?(1<=a,m<=1000000000,1<=b<=10^1000000)

注意到b很大,我们可以先采取一些方法降幂。

若gcd(a,m)=1,那么使用欧拉定理即可:a^b≡a^(b%φ(m))(mod m)

若gcd(a,m)>1,且b>φ(m),则有“求幂大法”——a^b≡a^(b%φ(m)+φ(m))(mod m)

(当b<=φ(m)时直接用快速幂即可)

以上所有证明可以参考synapse7

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