初等数论四大定理之——费马小定理

皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat），1601年生于法国，是一个律师和业余数学家。他在数学多个分支上都有贡献，成就甚至超过了许多职业的数学家，被誉为“业余数学家之王”。在费马的所有成就当中，最被大家津津乐道的莫过于“费马大定理”了。

皮埃尔·德·费马（1601-1665）

这个定理本身并不是很重要，但由于其证明太过于困难，直到被提出来358年之后，才在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）所证明，因而被许多数学领域之外的人所熟知。不过，我们今天要谈的是费马小定理。这个定理对大家来说，可能就有点陌生了。实际上它是数论中的一个十分重要的定理，是初等数论四大定理（威尔逊定理，欧拉定理，中国剩余定理和费马小定理）之一。

在正式讨论费马小定理之前，我们先来了解一下同余的概念和它的几个基本性质。同余所描述的是两个整数的一种等价关系，如果两个整数a和b除以同一个整数p所得的余数相等，我们就说这两个整数模p同余。记作

同余的重要性体现在它保持了普通等式的许多性质。我们知道普通等式有以下性质：

1. 恒有a = a

2. 如果a = b, b - a = 0

3. 如果a = b, b = c，那么a = c

4. 如果a = a', b = b'，那么a + b = a' + b'

5. 同上，a - b = a' - b'

6. 同上，ab = a'b'

相应的，同余有类似的性质：

1. 恒有a ≡ a(mod p)

2. 如果a ≡ b(mod p), b - a ≡ 0(mod p)

3. 如果a ≡ b(mod p), b ≡ c(mod p)，那么a ≡ c(mod p)

4. 如果a ≡ a'(mod p), b ≡ b'(mod p)，那么a + b ≡ a' + b'(mod p)

5. 同上，a - b ≡ a' - b'(mod p)

6. 同上，ab ≡ a'b'(mod p)

这几个性质的证明是十分容易的，因此不再赘述。

费马小定理正是在同余性质的基础上被发现的：如果p是任意一个不能整除整数a的素数，那么

这就是说a的(p - 1)次方除以p余1。例如：令p = 7, a = 10，可知p为素数且与a互素，那么根据费马小定理，有

即1000000除以7余数为1。经计算可知：

读者可以验证是否正确，也可以自行列举几个例子来体验一下这个神奇的定理。

我们知道，数学在各个领域的应用是人类社会发展的主要推动力量，但是它的真正魅力并不在于此，甚至可以说数学的发展并不是为了应用。因此，让我们来看看真正有价值的东西——费马小定理的证明。

在给定了素数p和与p互素的整数a之后，我们考虑如下p - 1个数：

显然，任意一个都不能被p整除。而且不难发现，这p - 1个数中任意两个除以p得到的余数都不相同。否则存在s和t()，使得，根据同余性质(2.)，得出能被p整除，这显然是不可能的。

由于任何数除以p所得的余数必然等于中的一个，因此上述p - 1个数分别与模p同余。根据同余性质(6.)有：

再根据同余性质(2.)有：

p为素数，显然不整除，由此p整除，即：

到此，费马小定理得到证明。

此证明的过程虽然简单，但是需要对同余性质和整除性质的深刻理解，这可能是需要专门下一番功夫的地方。最后，我们将给出费马小定理有一个更加一般性的推论，它放开了p是素数的限制。

我们先定义一个关于正整数n的函数

例如：10以内与10互素的有4个：1、3、7、9，因此。有了这个函数之后，我们可以给出费马小定理的如下推论：如果n是任意一个与整数a互素的整数，那么

实际上，对于素数p有。由此可见，费马小定理是这个推论的一个特例。

此推论的证明过程与费马小定理的证明过程类似，只是涉及到一些额外的逻辑，我们在这里并没有给出。回复“费马小定理推论”，即可得到一份作者手写的关于推论的证明！

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