杭电1465

题意：向n个人发n封信，全部都发错的情况有多少种

 

Analyse:

记错排的符号为f(n)，则f(n)=A(n,n)-C(n,1)*f(n-1)-C(n,2)*f(n-2)……-C(n,n-2)*f(2)-1（表示n个元素的全排列排除有k(1<=k<=n-2)个放对位置的情况，不存在n-1个放对位置的情况，最后的1表示全部放对的情况），有f(n-1)=A(n-1,n-1)-C(n-1,1)*f(n-2)-C(n-1,2)*f(n-3)……-C(n-1,n-3)*f(2)-1，将f(n-1)代入到f(n)得到，f(n)=C(n,2)*f(n-2)+2*C(n,3)*f(n-3)+……+(n-3)*C(n,n-2)*f(2)+n-1。

View Code

 1 #include
 2 __int64 c[21][21];
 3 main()
 4 {
 5     __int64 awnum[21]={0,0,1,2};//全错的情况
 6     int i,j;
 7     int n;
 8     //构建杨辉三角
 9     c[0][0]=1;
10     for(i=1;i<=20;i++)
11     {
12         c[i][0]=1;
13         c[i][i]=1;
14         for(j=1;j15             c[i][j]=c[i-1][j-1]+c[i-1][j];
16     }
17     //递推出各种全错数目
18     for(i=4;i<=20;i++)
19     {
20         awnum[i]=i-1;
21         for(j=i-2;j>=2;j--)
22             awnum[i]+=(i-j-1)*c[i][i-j]*awnum[j];
23     }
24     while(scanf("%d",&n)==1)
25         printf("%I64d\n",awnum[n]);
26 }

后来知道错排有递推公式，f(n)=(n-1)*(f(n-1)+f(n-2))，f(1)=0，f(2)=1。解释如下：

先将第一个位置的元素放到第k个位置（对k的选择有（n-1）种情况）；然后第k个位置的元素如果放在第一个位置，则有f(n-2)种情况，而第k个位置的元素若不放在第一个位置，则将第一个位置看成是k原本的位置（因为k不放在第一个位置），因此相当于n-1个元素的错排，有f(n-1)种情况。由加法原理和乘法原理可得上述公式。

 

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