vijos1037 搭建双塔（重庆一中高2018级信息学竞赛测验7） 解题报告
2001年9月11日，一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地，Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“9?11”事件，Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。
Mr. F有N块水晶，每块水晶有一个高度，他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔，使他们成为一座双塔，Mr. F可以从这N块水晶中任取M（1≤M≤N）块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度，也不知道如果能搭建成一座双塔，这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。
给定水晶的数量N和每块水晶的高度Hi，你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔（两座塔有同样的高度），如果能，则输出所能搭建的双塔的最大高度，否则输出“Impossible”。
【输入格式】
第一行为一个数N，表示水晶的数量。
第二行为N个数，第i个数表示第i个水晶的高度。
【输出格式】
输出仅包含一行，如果能搭成一座双塔，则输出双塔的最大高度，否则输出一个字符串“Impossible”。
【输入样例】
5
1 3 4 5 2
【输出样例】
7
【数据范围】
50%的数据：1≤N≤20， N块水晶高度的总和不超过2000；
70%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过2000；
100%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过500000。
做题思路（70分解法）：拿到这道题时，因为求的是双塔（两座塔高度相同）的最大高度，于是想到递推算法，根据求什么设什么，f(i,j,k)表示前i块水晶能否搭建出第一座塔高度为j，第二座塔高度为k，因为分析前i块水晶时只与前i-1块水晶有关，所以可以使用滚动数组，省去一维。分析第i块水晶，可以不搭，可以搭在第一座塔上，也可以搭在第二座塔上，所以递推方程（滚动数组）为：f(j,k)=f(j,k) || f(j-h[i],k) || f(j,k-h[i])（即只要f(j,k),f(j-h[i],k),f(j,k-h[i])中有一个可行，f(j,k)也可行）。边界条件为f(0,0)=1，即无论用多少块水晶，都可以选择不搭，此时两座塔的高度均为0。但如果这样设状态函数的话，根据题目的数据范围，N块水晶高度总和不超过500000，如果设f[500005][500005]显然会超内存（限制128M），所以为了保险起见，考试时只设了f[2005][2005]。
解题思路（正解）：因为已知如果直接求什么设什么是不行的，所以要换个思路来设计状态函数，因为求的双塔高度相同，即高度差为0，所以可以运用动态规划，设f(i,j)表示前i块水晶，选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时，第一座塔的最大高度，这样设的话，数组只需设f[105][500005]，不会超内存，但可以发现高度差j可能为负数，对此，可以运用宏定义将负数j平移为正数。同样，分析第i块水晶，可以不搭，可以搭在第一座塔上，也可以搭在第二座塔上，所以状态转移方程为f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])。边界条件为f(0,0)=0，即不选水晶，两座塔的高度差为0，求塔高也都为0。需要注意的是，因为此种设法分析前i块水晶时，仍只与前i-1块水晶有关，所以也可以使用滚动数组来优化空间，但又为了保证正确，可以用二维滚动数组，在枚举高度差j时，可以进行优化，先在输入时计算出前i块水晶的高度和sum[i]（前缀和），则枚举第i块水晶时，高度差最多为sum[i]，最少为-sum[i]。如果最后f(N%2,0)是小于或等于0的，说明不存在双塔，需输出“Impossible”。
#include
#include
#include
#include
#include
#define f(x,y) d[(x)][(y)+1000000] //宏定义，注意建议平移多一点，不然可能有的数据会出问题
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=1000000010;
int N,sum=0;
int h[maxn],s[maxn];
/*
f(i,j)表示前i块水晶，选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时，第一座塔的最大高度
f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])
边界：f(0,0)=0
*/
int d[2][2000005]; //二维滚动数组
void solve() //动态规划
{
for(int i=0;i<2;i++)
for(int j=-sum;j<=sum;j++)
f(i,j)=-inf; //初始化
f(0,0)=0; //边界
for(int i=1;i<=N;i++)
{
for(int j=-s[i];j<=s[i];j++)
f(i%2,j)=-inf;
for(int j=-s[i];j<=s[i];j++)
{
int t1=f((i-1)%2,j),t2=f((i-1)%2,j-h[i]),t3=f((i-1)%2,j+h[i])+h[i];
f(i%2,j)=max(t1,max(t2,t3));
}
}
if(f(N%2,0)>0) printf("%d\n",f(N%2,0));
else printf("Impossible\n");
/*for(int j=-s[N];j<=s[N];j++)
printf("%d ",f(N%2,j));*/
}
int main()
{
freopen("tower.in","r",stdin);
//freopen("tower1.out","w",stdout);
scanf("%d",&N);
s[0]=0;
for(int i=1;i<=N;i++)
{
scanf("%d",&h[i]);
s[i]=s[i-1]+h[i]; //预处理，计算前缀和
sum+=h[i]; //计算高度差的范围
}
solve();
return 0;
} 考后反思：在考试时，如果实在想不出满分程序，那么一定要保证得部份分程序的正确（不要因为题目范围太大，就盲目地把数组设太大，可能会超内存）。