vijos1037 搭建双塔(重庆一中高2018级信息学竞赛测验7) 解题报告

【问题描述】  
  
  2001年9月11日,一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地,Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“9?11”事件,Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。


  Mr. F有N块水晶,每块水晶有一个高度,他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔,使他们成为一座双塔,Mr. F可以从这N块水晶中任取M(1≤M≤N)块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度,也不知道如果能搭建成一座双塔,这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。


  给定水晶的数量N和每块水晶的高度Hi,你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔(两座塔有同样的高度),如果能,则输出所能搭建的双塔的最大高度,否则输出“Impossible”。 
 
    
 【输入格式】  
  
  第一行为一个数N,表示水晶的数量。
  第二行为N个数,第i个数表示第i个水晶的高度。


 
    
 【输出格式】  
   
  输出仅包含一行,如果能搭成一座双塔,则输出双塔的最大高度,否则输出一个字符串“Impossible”。


 
    
 【输入样例】   
   
5
1 3 4 5 2 
 
    
 【输出样例】  
   

 
    
 【数据范围】  
   
50%的数据:1≤N≤20, N块水晶高度的总和不超过2000;
70%的数据:1≤N≤100, N块水晶高度的总和不超过2000;
100%的数据:1≤N≤100, N块水晶高度的总和不超过500000。


做题思路(70分解法):拿到这道题时,因为求的是双塔(两座塔高度相同)的最大高度,于是想到递推算法,根据求什么设什么,f(i,j,k)表示前i块水晶能否搭建出第一座塔高度为j,第二座塔高度为k,因为分析前i块水晶时只与前i-1块水晶有关,所以可以使用滚动数组,省去一维。分析第i块水晶,可以不搭,可以搭在第一座塔上,也可以搭在第二座塔上,所以递推方程(滚动数组)为:f(j,k)=f(j,k) || f(j-h[i],k)  || f(j,k-h[i])(即只要f(j,k),f(j-h[i],k),f(j,k-h[i])中有一个可行,f(j,k)也可行)。边界条件为f(0,0)=1,即无论用多少块水晶,都可以选择不搭,此时两座塔的高度均为0。但如果这样设状态函数的话,根据题目的数据范围,N块水晶高度总和不超过500000,如果设f[500005][500005]显然会超内存(限制128M),所以为了保险起见,考试时只设了f[2005][2005]。


解题思路(正解):因为已知如果直接求什么设什么是不行的,所以要换个思路来设计状态函数,因为求的双塔高度相同,即高度差为0,所以可以运用动态规划,设f(i,j)表示前i块水晶,选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时,第一座塔的最大高度,这样设的话,数组只需设f[105][500005],不会超内存,但可以发现高度差j可能为负数,对此,可以运用宏定义将负数j平移为正数。同样,分析第i块水晶,可以不搭,可以搭在第一座塔上,也可以搭在第二座塔上,所以状态转移方程为f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])。边界条件为f(0,0)=0,即不选水晶,两座塔的高度差为0,求塔高也都为0。需要注意的是,因为此种设法分析前i块水晶时,仍只与前i-1块水晶有关,所以也可以使用滚动数组来优化空间,但又为了保证正确,可以用二维滚动数组,在枚举高度差j时,可以进行优化,先在输入时计算出前i块水晶的高度和sum[i](前缀和),则枚举第i块水晶时,高度差最多为sum[i],最少为-sum[i]。如果最后f(N%2,0)是小于或等于0的,说明不存在双塔,需输出“Impossible”。


#include
#include
#include
#include
#include
#define f(x,y) d[(x)][(y)+1000000]  //宏定义,注意建议平移多一点,不然可能有的数据会出问题
using namespace std;
const int maxn=105;
const int inf=1000000010;
int N,sum=0;
int h[maxn],s[maxn];
/*
f(i,j)表示前i块水晶,选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时,第一座塔的最大高度 
f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])
边界:f(0,0)=0 
*/
int d[2][2000005];  //二维滚动数组
void solve()  //动态规划
{
	for(int i=0;i<2;i++)
	for(int j=-sum;j<=sum;j++)
	f(i,j)=-inf;  //初始化
	f(0,0)=0;  //边界
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		for(int j=-s[i];j<=s[i];j++)
		f(i%2,j)=-inf;
		for(int j=-s[i];j<=s[i];j++)
		{
			int t1=f((i-1)%2,j),t2=f((i-1)%2,j-h[i]),t3=f((i-1)%2,j+h[i])+h[i];
			f(i%2,j)=max(t1,max(t2,t3));
		}
	}
	if(f(N%2,0)>0)  printf("%d\n",f(N%2,0));
	else  printf("Impossible\n");
	/*for(int j=-s[N];j<=s[N];j++)
	printf("%d ",f(N%2,j));*/
}
int main()
{
	freopen("tower.in","r",stdin);
	//freopen("tower1.out","w",stdout);
	scanf("%d",&N);
	s[0]=0;
	for(int i=1;i<=N;i++)
	{
		scanf("%d",&h[i]);
		s[i]=s[i-1]+h[i];  //预处理,计算前缀和
		sum+=h[i];  //计算高度差的范围
	}
	solve();
	return 0;
}

考后反思:在考试时,如果实在想不出满分程序,那么一定要保证得部份分程序的正确(不要因为题目范围太大,就盲目地把数组设太大,可能会超内存)。

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