【VIJOS】1208 欧几里德游戏

题意：给定两个数N,M，每次用M,N中的大数减去小数的正整数倍，记为K，然后用M,N中的小数和K继续进行先前的操作，谁先得到K=0谁赢，问先手（Stan）赢还是后手（Ollie）赢？
0≤N,M≤231−1

分析：
嗯，博弈论和数论的综合题.

假设当前大数为M，小数为N，那么我们可以通过一次操作，得到以下的状态：

第一个数	第二个数
M-N	N
M-2N	N
M-3N	N
……	……
M-(K-1)N	N
M-KN	N

其中 M−KN<N .

现在让我们来分类讨论：
Ⅰ 假设状态 （M−KN，N） 为先手必胜态，那么：

• （M−(K−1)N，N） 为先手必负态
  原因：只能到达 状态（M−KN，N）

• （M−PN，N）,0<P<K−1 为先手必胜态；
  原因：状态 （M−(K−1)N，N） 为必负态，当前状态可以到达对手的必负态，所以为必胜态

Ⅱ 假设状态 （M−KN，N） 为先手必负态，那么：

• （M−(K−1)N，N） 为先手必胜态；
  原因：同上
• （M−PN，N）,0<P<K−1 为先手必胜态；
  原因：同上

综上所述，
Ⅰ 如果 M−N≥N ，那么至少存在 K=1，K=2 ，说明是必胜态.
Ⅱ 如果 M−N<N ，那么只存在 K=1 ，当前的状态就是 （N，M−N） 的相反状态.

而且，我们知道终止状态为 （i，0） ，终止状态为先手必负态.
我们只要知道辗转的次数cnt：
对于cnt为偶数的情况，先手负；
对于cnt为奇数的情况，先手胜；

举个例子：N=25，M=14，下表必胜态记为P，必负态记为Q.
注意：从下往上看……

M	N	状态	原因
25	14	P	只能到达 (9,14)态
9	14	Q	(9,14) 态即 (14,9) 态
14	9	Q	只能到达 (5,9)态
5	9	P	(5,9) 态即 (9,5) 态
9	5	P	只能到达 (4,5) 态
4	5	Q	(4,5) 态即 (5,4) 态
5	4	Q	只能到达 (1,4) 态
1	4	P	(1,4) 态即 (4,1)态
4	1	P	可以到达 (0,1) 态
3	1	P	可以到达 (0,1) 态
2	1	P	可以到达 (0,1) 态
1	1	P	可以到达 (0,1) 态
0	1	Q	终止状态为必负态

其实我们到 (4,1) 态就可以得到结果，先前辗转的次数 cnt=4 ， (cnt+1)mod2=1 .
所以对于先走的人，必然是先手必胜，即Stan取得胜利.

头一次如此顺利地解决博弈论问题23333.

代码：

#include 
#include 
using namespace std;

int cas;

inline int read(void)
{
    int s=0; char c=getchar();
    for (;!isdigit(c);c=getchar());
    for (;isdigit(c);c=getchar()) s=s*10+c-'0';
    return s;
}

inline void swap(int &i,int &j)
{
    i^=j^=i^=j;
}

inline int gcd(int i,int j)
{
    int cnt=0;
    if (ifor (;j;)
    {
        if (i-j>=j) return !(cnt&1);
        i-=j,swap(i,j),cnt++;
    }
    return cnt&1;
}

int main(void)
{
    cas=read();
    for (int cc=1;cc<=cas;cc++)
        printf("%s wins\n",gcd(read(),read())?"Stan":"Ollie");
    return 0;
}