CF474E Pillars （线段树优化DP）
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题目大意
给出一个长度为 n n n 的序列 a a a 和一个参数 m m m，要求求出一个最长的子序列，满足相邻元素的差大于等于 m m m
解题思路
本题跟LIS的 O ( n log n ) \operatorname{O}(n\log n) O(nlogn) 做法非常相似，需要用到桶。
首先，我们要将 a [ i ] a[i] a[i] 离散化。
设 f [ i ] f[i] f[i] 表示以 a [ i ] a[i] a[i] 结尾的最长满足条件的子序列的长度， p r e [ i ] pre[i] pre[i] 表示 f [ i ] f[i] f[i] 从 f [ p r e [ i ] ] f[pre[i]] f[pre[i]] 转移过来。
朴素转移： f [ i ] = max ∣ b [ i ] − b [ j ] ≥ m ∣ { f [ j ] } + 1 f[i]=\max\limits_{|b[i]-b[j]\ge m|}\{f[j]\}+1 f[i]=∣b[i]−b[j]≥m∣max{f[j]}+1。
这里的 b [ i ] b[i] b[i] 表示离散化之前的 a [ i ] a[i] a[i]。
我们考虑用桶优化：
设桶 b i n [ j ] bin[j] bin[j] 表示以 j j j 结尾的序列的最长长度， p o s [ j ] pos[j] pos[j] 表示与 b i n [ j ] bin[j] bin[j] 对应的结尾元素的编号。
由于 a [ i ] a[i] a[i] 已经被离散化了，我们需要用二分查找出与 i i i 最接近的 l [ i ] , r [ i ] l[i],r[i] l[i],r[i]，满足 1 ≤ l [ i ] ≤ i ≤ r [ i ] ≤ n 1\le l[i] \le i \le r[i] \le n 1≤l[i]≤i≤r[i]≤n，且 a [ i ] − a [ l [ i ] ] ≥ m a[i]-a[l[i]] \ge m a[i]−a[l[i]]≥m 且 a [ r [ i ] ] − a [ i ] ≥ m a[r[i]]-a[i] \ge m a[r[i]]−a[i]≥m。
那么，转移方程就变成了 f [ i ] = max 1 ≤ j ≤ l [ i ] or r [ i ] ≤ j ≤ n { b i n [ j ] } + 1 f[i]=\max\limits_{1 \le j \le l[i] \operatorname{or} r[i] \le j \le n} \{ bin[j] \}+1 f[i]=1≤j≤l[i]orr[i]≤j≤nmax{bin[j]}+1。
由于涉及到区间最值，我们可以用线段树维护，总时间复杂度 O ( n log n ) \operatorname{O}(n \log n) O(nlogn)。
注意每次要更新 b i n bin bin 和 维护 p r e [ i ] pre[i] pre[i]。
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