主成分分析PCA

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主成分分析PCA

关于为什么协方差的特征向量就是 k 维理想特征，有3个理论，分别是：

1. 最大方差理论
2. 最小错误理论
3. 坐标轴相关度理论

降维的必要性

1.多重共线性--预测变量之间相互关联。多重共线性会导致解空间的不稳定，从而可能导致结果的不连贯。

2.高维空间本身具有稀疏性。一维正态分布有68%的值落于正负标准差之间，而在十维空间上只有0.02%。

3.过多的变量会妨碍查找规律的建立。

4.仅在变量层面上分析可能会忽略变量之间的潜在联系。例如几个预测变量可能落入仅反映数据某一方面特征的一个组内。

降维的目的：

1.减少预测变量的个数

2.确保这些变量是相互独立的

3.提供一个框架来解释结果

降维的方法有：主成分分析、因子分析、用户自定义复合等。

PCA（Principal Component Analysis）不仅仅是对高维数据进行降维，更重要的是经过降维去除了噪声，发现了数据中的模式。

PCA把原先的n个特征用数目更少的m个特征取代，新特征是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使新的m个特征互不相关。从旧特征到新特征的映射捕获数据中的固有变异性。

预备知识

样本X和样本Y的协方差(Covariance)：

Cov(X,Y)=∑i=1n(Xi−X¯)(Yi−Y¯)(n−1)

协方差为正时说明X和Y是正相关关系，协方差为负时X和Y是负相关关系，协方差为0时X和Y相互独立。

Cov(X,X)就是X的方差(Variance).

当样本是n维数据时，它们的协方差实际上是协方差矩阵（对称方阵），方阵的边长是Cn2。比如对于3维数据(x,y,z)，计算它的协方差就是：

C=cov(x,x)cov(x,y)cov(x,z)cov(y,x)cov(y,y)cov(y,z)cov(z,x)cov(z,y)cov(z,z)

若AX=λX，则称λ是A的特征值，X是对应的特征向量。实际上可以这样理解：矩阵A作用在它的特征向量X上，仅仅使得X的长度发生了变化，缩放比例就是相应的特征值λ。

当A是n阶可逆矩阵时，A与P^-1Ap相似，相似矩阵具有相同的特征值。

特别地，当A是对称矩阵时，A的奇异值等于A的特征值，存在正交矩阵Q（Q^-1=Q^T），使得：

对A进行奇异值分解就能求出所有特征值和Q矩阵。

A∗Q=Q∗D,D是由特征值组成的对角矩阵

由特征值和特征向量的定义知，Q的列向量就是A的特征向量。

Jama包

Jama包是用于基本线性代数运算的java包，提供矩阵的cholesky分解、LUD分解、QR分解、奇异值分解，以及PCA中要用到的特征值分解，此外可以计算矩阵的乘除法、矩阵的范数和条件数、解线性方程组等。

再对测试样本进行降维的时候，一定要减去训练样本的均值，使用训练样本得到的转换矩阵，保证训练样本和测试样本转换到相同的样本空间中.