数据结构--树

简介

树，是一种非线性的存储结构，存储的是“一对多”关系的数据元素的集合
如图A就是存储了{ABCDEFGHIJKLM}的树的示意图，对于数据A来说，BCD是和A有关系的，对于数据B来说，E和F是和B有关系的，这就是“一对多”关系

基本术语

结点：树中的一个独立单元，包含一个数据元素及若干指向其子树的分支，也就是数据元素个体，如ABC等
结点的度：结点拥有的子树数称为结点的度，例如A的度为3，B的度为2，C的度为1，K的度为0
树的度：树中各结点度的最大值，例如图中树的度为3
叶子：度为0的结点称为叶子或者终端结点,结点KLFGMIJ都是树的叶子
双亲和孩子：结点的子树的根称为该结点的孩子，相应的，该结点称为孩子的双亲，例如B的双亲为A，且B有孩子EF；E的双亲为B，孩子为KL
兄弟：同一个双亲的孩子之间互称兄弟，例如HIJ互为兄弟
树的深度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度，图中树的深度为4

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二叉树

定义：

1. 有且只有一个称之为根的结点
2. 除了根结点之外的其余结点分为两个互不相交的子集，称为其的左子树和右子树

二叉树与树的区别：

1. 二叉树每个结点至多只有两棵子树（即没有大于2的结点）
2. 二叉树的子树有左右之分，其次序不能任意颠倒

根据定义可以有以下五种基本形态

二叉树的性质

性质一 ：在二叉树的第i层上至多有2^i-1个结点(i>=1)
性质二：深度为k的二叉树至多有2^k-1个结点(k>=1)
性质三：对于任何一颗二叉树，其叶子结点数为n₀，度为2的结点数为n₂，则n₀ = n₂ + 1
性质四：具有n个结点的完全二叉树的深度为log₂n + 1(向下取整,n>0)

满二叉树

特点：每一层上的结点数都是最大结点数，即每一层i的结点数都是最大值2ⁱ

完全二叉树

特点：

1. 叶子结点只能在层次最大的两层上出现
2. 对任一结点，若其右分支的的子孙的最大层次为l，则其左分支的子孙的最大层次必是l或l+1

满二叉树和完全二叉树的比较

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二叉树的存储结构

• 顺序存储结构

  • 顺序存储结构使用一组地址连续的存储单元来存储数据元素（例如数组），为了在存储结构中反映出结点之间的逻辑关系，必须按照一定规律安排在存储单元中
  • 对于完全二叉树来说可以直接依次自上而下，自左至右存储结点，如图所示
  • 而对于一般二叉树来说，每个结点需要与完全二叉树对应，用0表示不存在的结点
    但是用这种方法可能会造成极大的浪费，于是我们就使用另一种方法

• 链式存储结构

  • 由二叉树的定义可知，二叉树的结点由数据单元和指向左右孩子结点的分支构成，所以一般来说结点结构由左图所示的数据域和左、右指针域组成，但有时为了便于找到双亲结点，会添加一个指向双亲结点的指针域

/*
----结点的存储表示----
*/
typedef struct BiTree{
	ElemType data;
	struct BiTNode *lchild,*rchild;
}BiTNode,*BiTree;

下一章树的操作，暂时先鸽了