购物单（C++）回溯法和动态规划双解法

题目描述

王强今天很开心，公司发给N元的年终奖。王强决定把年终奖用于购物，他把想买的物品分为两类：主件与附件，附件是从属于某个主件的，下表就是一些主件与附件的例子：

主件	附件
电脑	打印机，扫描仪
书柜	图书
书桌	台灯，文具
工作椅	无

如果要买归类为附件的物品，必须先买该附件所属的主件。每个主件可以有 0 个、 1 个或 2 个附件。附件不再有从属于自己的附件。王强想买的东西很多，为了不超出预算，他把每件物品规定了一个重要度，分为 5 等：用整数 1  ~ 5 表示，第 5 等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是 10 元的整数倍）。他希望在不超过 N 元（可以等于 N 元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

    设第 j 件物品的价格为 v[j] ，重要度为 w[j] ，共选中了 k 件物品，编号依次为 j 1 ， j 2 ，……， j k ，则所求的总和为：

v[j 1 ]*w[j 1 ]+v[j 2 ]*w[j 2 ]+ … +v[j k ]*w[j k ] 。（其中 * 为乘号）

    请你帮助王强设计一个满足要求的购物单。

输入描述:

输入的第 1 行，为两个正整数，用一个空格隔开：N m

（其中 N （ <32000 ）表示总钱数， m （ <60 ）为希望购买物品的个数。）

从第 2 行到第 m+1 行，第 j 行给出了编号为 j-1 的物品的基本数据，每行有 3 个非负整数 v p q

（其中 v 表示该物品的价格（ v<10000 ）， p 表示该物品的重要度（ 1  ~ 5 ）， q 表示该物品是主件还是附件。如果 q=0 ，表示该物品为主件，如果 q>0 ，表示该物品为附件， q 是所属主件的编号）

 

输出描述:

 输出文件只有一个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值（ <200000 ）。

示例1

输入

1000 5
800 2 0
400 5 1
300 5 1
400 3 0
500 2 0

输出

2200

回溯法解法如下：

（该解法需要保证附件在主件的后面，否则附件永远都买不了【可以自己考虑重新排序，将主件都放在前面，附件都放在后面，不过很麻烦，没考虑那么多，暂时认为，输入的数据都是附件在主件的后面】）

//回溯法
#include
using namespace std;

//i:表示第i个物品（从0开始），x存储临时方法，rep表示剩余钱数，sum表示临时的总和，
//max存储最优的方法，number表示有几个物品，v表示价格，w表示重要度，maxsum存储最优总和，q表示是否为附件
void backtrack(int i,int* x,int rep,int sum,int* max,int number,int* v,int* w,int &maxsum,int* q) {
    if (i == number) {              //满足终止条件，判断是否为最优解，跳出迭代
        if (sum > maxsum) {
            maxsum = sum;
            for (int j = 0; j < number; j++) { max[j] = x[j]; }
        }
        return;
    }
    if (v[i] <= rep&&(q[i] == 0 || x[q[i] - 1] == 1)) {   //放的情况，然后走下一层
        x[i] = 1;
        rep -= v[i];
        sum += v[i] * w[i];
        backtrack(i+1,x,rep,sum,max,number,v,w,maxsum,q);
        x[i] = 0;
        rep += v[i];
        sum -= v[i] * w[i];
    }
    backtrack(i + 1, x, rep, sum, max, number, v, w, maxsum,q); //不放的情况，然后走下一层
}
int main() {
    int number;
    int sumprice;
    cin >> sumprice >> number;
    int* v = new int[number];
    int* w = new int[number];
    int* x = new int[number];
    int* max = new int[number];
    int* q = new int[number];
    for (int i = 0; i < number;i++) {
        x[i] = 0;    
    }
    for (int i = 0; i < number; i++) {
        max[i] = 0;
    }
    for (int i = 0; i < number; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i] >> q[i];
    }

    int result = 0;
    backtrack(0, x, sumprice, 0, max, number, v, w, result,q);
    cout << result;
    return 0;
}

然后是动态规划的方法，动态规划主要用到了一个求矩阵的公式：

r[i][j]=k,表示放i个物品，有j元钱的时候的最大的总和是k

r[i][j] = max(r[i - 1][j],r[i - 1][j - v[i]] + v[i] * w[i])

前者表示不放第i个物品，后者表示放第i个物品，两者取最大（最后得出正确的方法是刚好反着得到的）

代码如下：

//动态规划
#include
using namespace std;
void getx(int *x, int** r, int i, int j,int* v) {
    for (; i>0&&j>0; i--) {
        if (r[i][j] == r[i - 1][j]) {
            x[i] = 0;
        }
        else {
            j = j - v[i];
            x[i] = 1; }
    }
}
int main() {
    int number;
    int sumprice;
    cin >> sumprice >> number;
    int* x = new int[number + 1];
    int* v = new int[number + 1];
    int* w = new int[number + 1];
    int* q = new int[number + 1];
    int* id = new int[number + 1];
    for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
        x[i] = 0;
    }
    for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
        cin >> v[i] >> w[i] >> q[i];
        id[i] = i;
    }

    int** r = new int*[number + 1];
    for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
        r[i] = new int[sumprice + 1];
    }

    //初始化
    for (int j = 0; j < sumprice + 1; j++) {
        r[0][j] = 0;
    }
    for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
        r[i][0] = 0;
    }
    //求解，i从1开始
    for (int i = 1; i < number + 1; i++) {
        for (int j = 0; j < sumprice + 1;) {
            getx(x, r, i - 1, j,v);

            if (r[i - 1][j] > r[i - 1][j - v[i]] + v[i] * w[i]) { r[i][j] = r[i - 1][j]; }
            else if (j >= v[i] && (q[i] == 0 || x[q[i]] == 1)) {
                r[i][j] = r[i - 1][j - v[i]] + v[i] * w[i];

            }
            else {
                r[i][j] = r[i - 1][j];

            }
            j += 1;
        }
    }
    cout << r[number][sumprice];
    //可得到最优的具体方法
    getx(x, r, number, sumprice,v);
    cout << endl;
    for (int i = 1; i < number + 1; i++) { cout << x[i] << "-"; }
    //释放内存
    for (int i = 0; i < number + 1; i++) {
        delete[] r[i];
    }
    delete[]r;
    return 0;
}