算法的优雅（十）：本能に従顺忠実 翻弄も重々承知

自古肉番出燃曲.......阿类，K-on为毛被算肉番了.......肉就肉吧，人妻忧嫁我就好了......

好像又扯远了......

近几天，已经陆续好几个公司召开了宣讲会，貌似有些公司都面试了......今天下午本来是TCL的宣讲，不过在那之前我去了一趟中国邮政，把签完的offer邮寄回去了- -0，我就是要去捣乱，怎么的，有本事咬我啊......

其实，本来不打算更新了，因为感觉中国的公司，会问及比较深算法的米有......只要你把本博客前面的文章都看过了，面试算法题可以all-kill了，当然，我知道很多人不会看.....

哦，好像还没有说今天的主题......恩，就是动态规划（DP）......为什么打算更新了呢，还是那句话，多学一点没坏处，而且，去年google笔试，7道题里有2道都是DP的，当然，如果你想去google，看完这个BLOG后还有好多DP知识需要知道.....

书回正章。

什么是动态规划呢？

1）动态规划是运筹学中用于求解决策过程中的最优化数学方法。 当然，我们在这里关注的是作为一种算法设计技术，作为一种使用多阶段决策过程最优的通用方法。它是应用数学中用于解决某类最优化问题的重要工具。

2）如果问题是由交叠的子问题所构成，我们就可以用动态规划技术来解决它，一般来说，这样的子问题出现在对给定问题求解的递推关系中，这个递推关系包含了相同问题的更小子问题的解。动态规划法建议，与其对交叠子问题一次又一次的求解，不如把每个较小子问题只求解一次并把结果记录在表中（动态规划也是空间换时间的），这样就可以从表中得到原始问题的解。

哈哈，很专业吧....必须的，这是我从某书抄的.....恩，看不懂吧，我的目的达到了.....

其实，DP用个例子解释起来很简单。

我们来看一个三角.....是三角，没恋.....

如果，我们规定一个游戏规则，从这个三角的上面到下面，每次可以向正下方或者右下方移动，那么求出一个路径让其得到的所有数字和最大，当然了，如果你非得移动出三角，那么那一层你讲获得0.....

有点难懂？我们来举个例子........从开始23开始，假如我们往下移动到右下，那么就获得了55+23，之后继续右下，就是23+55+6，再一次右下，23+55+6+33，这就是一条路径获得的数值。

于是，如何得出一条最大值呢.....从一个点出发，可以得出两个状态，从前面学过的我们可以用搜索.....如果你打算用背包的话.....我不反对.....别说我没阻止你.....

搜索是一个好办法，把所有情况搜索出来，之后挑去最大的就行了，但是假如层数很多怎么办......那样如果用搜索的话.....时间复杂度难以想象.....

我来重新审视这个问题，从最顶端开始，向下有两种选择，正下方，或者右下方.......观察不难发现一个特点，就是第i层的值不受第j层影响（i

在假设一下，如果我们知道第i层的每个方格里的最大值，那么怎么求第i+1层呢？显然，对于i+1的方格值=value[i+1][j] + max(value[i][j], value[i][j+1])......那么，i层最大值和什么有关呢？显然是i-1层，那么i-1层就和i-2层有关.....于是我们推到了第一层，而第一层是固定的，上图就是23，于是我们能反正推回去......我们看一下代码。

value[1][1] = map[1][1];
for (int i = 2; i <= n; ++i)
{
	for (int j = 1; j <= i; ++i)
	{
		value[i][j] = map[i][j] + max(value[i - 1][j], value[i - 1][j + 1]);
	}
}

大体就是这样了，可以看出只需要两层循环，复杂度是O(n^2).....显然这比搜索复杂度低很多了。

于是，我们总结一下什么事DP吧。

首先，DP可以说是搜索的一种特例，它只需要保证每次搜索的结果最优，那么就可以让下一个状态的结果最优，所以，当前状态应该受前面状态制约，而和后面状态无关。

其次，DP都会有一个初始状态是已知的，比如上面第一层，是已知可以直接用的，而且最优解是通过已知展开得到的。

然后，DP都会有一个数组表示一些状态，比如上述的value[i][j]表示的就是走到第i层第j个格子的最大值是多少.....

最后，DP都会有一个叫做动态转移方程的东西......很高端吧......其实就是一个式子，表示当前状态怎么从前面状态得出结果的，比如value[i][j] = map[i][j] + max(value[i - 1][j], value[i - 1][j + 1]);就是一个动态转移方程......

所以知道上述，DP一般问题就不是问题了......

来个题试一下：传送门

题目有点晦涩......就是有n个设备，每个设备有流量和价值两个属性，而且每个设备可以由k个厂商生产，于是挑选出来一个方案，让最小流量 / 价值和最大.....是最小流量.....

dp[i][j] 表示选到第i件设备，带宽为j 的最小费用。

#include 
#include 
using namespace std;
#define MAXN 0xffffff

int dp[101][1001];

int max(int a, int b)
{
    return a > b ? a : b;
}

int min(int a, int b)
{
    return a < b ? a : b;
}

int main()
{
    int t, n, m, maxb, b[101], p[101];
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cin >> n;
        maxb = 0;
        for (int i = 0; i < 101; ++i)
            for (int j = 0; j < 1001; ++j)
                dp[i][j] = MAXN;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
        {
            cin >> m;
            for (int j = 1; j <= m; ++j)
            {
                cin >> b[j] >> p[j];
                maxb = max(maxb, b[j]);
            }
            if (i == 1)
            {
                for (int k = 1; k <= m; ++k)
                    if (dp[1][b[k]] > p[k])
                        dp[1][b[k]] = p[k];
                continue;
            }
            for (int j = 0; j <= maxb; ++j)
            {
                if (dp[i - 1][j] != MAXN)
                for (int k = 1; k <= m; ++k)
                {
                    int tb = min(j, b[k]);
                    dp[i][tb] = min(dp[i][tb], dp[i - 1][j] + p[k]);
                }
            }
        }
        double ans = 0, temp;
        for (int j = 0; j <= maxb; ++j)
        {
            if (dp[n][j] != MAXN)
            {
                temp = 1.0 * j / dp[n][j];
                if (ans < temp)
                    ans = temp;
            }
        }
        printf("%.3lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

其实，DP这类题有很多....想练习的可以去POJ搜搜.....

扯点别的......算法这东西.....以后工作真心没啥用，因为你用的都是成型的东西.....当然你去什么研究室什么的会有用.......不过，作为一个学计算机的，C，C++，Java，PHP什么的语言.....很难么？学一个语言可能需要几个月，但一旦学过一个，学别的就是一个礼拜了......但是算法不是，因为算法说白了就是数学......说白了，你除了会编代码，还要有很好的数学思维.....其实，来吉大的时候，感觉这里的老师还有学生对算法很不重视......真心不知道为什么.......现在从那些准大三里随便抽几个人写单源最短路、最小生成树、网络流什么的，肯定没有能写出来的.........可能是现在中国这种浮躁的学术氛围吧，但是，个人感觉，算法这东西，多学一些特别好......

还有，关于工作的一点建议，其实，大学本科生来说，不要太好高骛远.....毕竟你只是一个本科，而且不要把吉大想象成什么好大学，你觉得你在吉大不错，其实你出去什么都不是......所以，如果一个职位，工资不太理想，但是很有发展前途，就将就了吧......工资什么的，以后可以张，发展什么的，很难得的......不要因为工资高，而去了一个没有发展的职业.....当然，如果你是女的，我建议你还是嫁的好吧......

so......这是最后一篇写给找工作诸位的BLOG的，祝各位找到好工作吧~~~~