如何利用MATLAB对多项式进行计算？

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本文是科学计算与MATLAB语言课程的第5章第2小结的学习笔记，通过查阅本文，可以轻松掌握利用MATLAB进行多项式的四则运算（加减乘除）、求导、求值、求根等，$Enjoyyourreading!$

1 多项式的表示

在MATLAB中，n次多项式用一个长度为n+1的行向量表示。如有n次多项式：
$p（x）=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_{1}x+a_0$
则在MATLAB中，$p（x）$表示为向量形式：
$[a，a_{n-1}，a_{n-2}，a_1，a_n]$
在MATLAB中创建多项式向量时，要注意三点：
（1）多项式系数向量的顺序是从高到低。
（2）多项式系数向量包含0次项系数，所以其长度为多项式最高次数加1。
（3）如果有的项没有，系数向量相应位置应用0补足。

2 多项式的四则运算

（1）多项式的加减运算
多项式的加减运算非常简单，即相应向量相加减。
（2）多项式乘法
conv（P1，P2）：多项式相乘，其中，P1、P2是两个多项式系数向量。
（3）多项式除法
[Q，r]=deconv（P1，P2）：多项式相除，其中Q返回多项式P1除以P2的商式，r返回P1除以P2的余式。这里，Q和r仍是多项式系数向量。deconv是conv的逆函数，因此有下式成立。
P1=conv（Q，P2）+r
例1 设f和g为两个多项式$\{\begin{array}{rl}{f}_x& =3x^4-5x^3-7x^2+5x+6\\ g_x& =3x^2+5x-3\end{array}$，
求f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)×g(x),f(x)/g(x)。

f=[3,-5,0,-7,5,6]; g=[3,5,-3];  g1=[0,0,0,g];
f+g1
f-g1
conv(f,g)
[Q,r]=deconv(f,g)
conv(g,Q)+r

3 多项式的求导

在MATLAB中，多项式求导函数为polyder（），其调用格式为：
（1）p=polyder（P）：求多项式P的导函数。
（2）p=polyder（P，Q）：求P×Q的导函数。
（3）[p，q]=polyder（P，Q）：求P/Q的导函数，导函数的分子存入p，分母存入q。
例2 已知两个多项式$a(x)=3x^3+x^2-6,b(x)=x+2$，计算两个多项式的乘积的导函数、商的导函数。

 a=[3 1 0 -6];
 b=[1 2];
 c=polyder(a,b)
 [p,q]=polyder(a,b)

4 多项式的求值

polyval（p，x）：
代数多项式求值，其中，p为多项式系数向量，x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值。
这个很容易理解，对吧。注意，如果你的智商比我高，下面的也能理解。我是想了很长时间的。
polyvalm（p，x）：
矩阵多项式求值，其调用格式与polyval相同，但含义不同。polyvalm函数要求x为方阵，以方阵为自变量求多项式的值。
设A为方阵，P代表多项式x3-5x2+8，那么polyvalm（P，A）的含义是：
$A\ast A\ast A-5\ast A\ast A+8\ast eye（size（A））$
由于我只学了一点线性代数，暂时还不明白为何加一个单位矩阵，容我再想一会儿。
而polyval（P，A）的含义是：
$A.\ast A.\ast A-5\ast A.\ast A+8\ast ones（size（A））$
思考：polyval（p，x）与polyvalm（p，x）有没有可能相等？如果有可能，在什么情况下相等？
例3 以一个多项式$x^4+8x^3-10$为例，取一个2×2矩阵为自变量，分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。

a=[1,8,0,0,-10];
x=[-1,1.2;2,-1.8];
y1=polyval(a,x) 
y2=polyvalm(a,x)

5 多项式的求根

在MATLAB中，多项式求根函数为roots（p），其中p为多项式的系数向量。
例如，求多项式x4+8x3-10的根。

a=[1,8,0,0,-10]; 
x=roots(a)

若已知多项式的全部根，则可以用poly函数建立起该多项式，其调用格式为：
p=poly（x）
例如，在以上语句之后，继续输入命令：

p=poly（x）
p=
1.00008.00000.00000.0000-10.0000

例4某工业过程需要对工件进行高温加热，热量由一个燃烧装置产生。该装置中共有两条输送管道，一条管道按固定量提供燃料，一条管道注入空气。空气能够帮助燃烧，但是过高的空气流量又会带走热量，降低加热效率。经过数十次空气流量实验，技术部门取得了相应的结果数据，并通过曲线拟合得知空气流量与加热效率在[0，2]范围内基本满足多项式$p（x)=-38.89\times 2+126.11x-3.42$（x表示空气流量），请推算空气流量在[0，2]范围内什么水平时，加热效率为最高。

p=[-38.89,126.11,-3.42];
q=polyder(p)
roots(q)
polyval(p,1.6214)
x=0:0.1:2;
plot(x,polyval(p,x),1.6214,98.8154,'rp');

结语

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