线段树 详解

线段树详解

线段树的学习顺序。

单点修改+区间查询

区间修改+区间查询（懒惰标记）

区间合并（ 最后的例题就是 ）

扫描线，和区间修改很相似，但是没有懒惰标记，难理解一点

最后就是 主席树了，一个很大的不同就是 每个节点的左右儿子并不是简单的 rt<<1和rt<<1|1。

线段树 还是要多想想才能真正理解。这篇只有前两种线段树，区间合并不难，扫描线和主席树还要网上自己再找找。

最后给出一些例题。

一：综述

 

由此看出，用线段树统计的东西，必须符合区间加法，否则，不可能通过分成的子区间来得到[L,R]的统计结果。

符合区间加法的例子：

数字之和——总数字之和 = 左区间数字之和 + 右区间数字之和

最大公因数(GCD)——总GCD = gcd( 左区间GCD , 右区间GCD );

最大值——总最大值=max(左区间最大值，右区间最大值)

不符合区间加法的例子：

众数——只知道左右区间的众数，没法求总区间的众数

01序列的最长连续零——只知道左右区间的最长连续零，没法知道总的最长连续零

 

初学者可以先看这篇文章： 线段树从零开始

 

二：原理

（注：由于线段树的每个节点代表一个区间，以下叙述中不区分节点和区间，只是根据语境需要，选择合适的词）

线段树本质上是维护下标为1,2,..,n的n个按顺序排列的数的信息，所以，其实是“点树”，是维护n的点的信息，至于每个点的数据的含义可以有很多，

在对线段操作的线段树中，每个点代表一条线段，在用线段树维护数列信息的时候，每个点代表一个数，但本质上都是每个点代表一个数。以下，在讨论线段树的时候，区间[L,R]指的是下标从L到R的这(R-L+1)个数，而不是指一条连续的线段。只是有时候这些数代表实际上一条线段的统计结果而已。

 

 

线段树是将每个区间[L,R]分解成[L,M]和[M+1,R] (其中M=(L+R)/2 这里的除法是整数除法，即对结果下取整)直到 L==R 为止。 

开始时是区间[1,n] ,通过递归来逐步分解，假设根的高度为1的话，树的最大高度为（n>1）。

线段树对于每个n的分解是唯一的，所以n相同的线段树结构相同，这也是实现可持久化线段树的基础。

下图展示了区间[1,13]的分解过程：

 

上图中，每个区间都是一个节点，每个节点存自己对应的区间的统计信息。

 

(1)线段树的点修改：

 

假设要修改[5]的值，可以发现，每层只有一个节点包含[5],所以修改了[5]之后，只需要每层更新一个节点就可以线段树每个节点的信息都是正确的，所以修改次数的最大值为层数。

复杂度O(log2(n))

(2)线段树的区间查询：

 

线段树能快速进行区间查询的基础是下面的定理：

定理：n>=3时，一个[1,n]的线段树可以将[1,n]的任意子区间[L,R]分解为不超过个子区间。

这样，在查询[L,R]的统计值的时候，只需要访问不超过个节点，就可以获得[L,R]的统计信息，实现了O(log2(n))的区间查询。

下图是n=16 , L=2 , R=15 时的操作图，此图展示了达到最小上界的树的结构。

 

 

 

 

 

(3)线段树的区间修改：

线段树的区间修改也是将区间分成子区间，但是要加一个标记，称作懒惰标记。

标记的含义：

本节点的统计信息已经根据标记更新过了，但是本节点的子节点仍需要进行更新。

即，如果要给一个区间的所有值都加上1，那么，实际上并没有给这个区间的所有值都加上1，而是打个标记，记下来，这个节点所包含的区间需要加1.打上标记后，要根据标记更新本节点的统计信息，比如，如果本节点维护的是区间和，而本节点包含5个数，那么，打上+1的标记之后，要给本节点维护的和+5。这是向下延迟修改，但是向上显示的信息是修改以后的信息，所以查询的时候可以得到正确的结果。有的标记之间会相互影响，所以比较简单的做法是，每递归到一个区间，首先下推标记（若本节点有标记，就下推标记），然后再打上新的标记，这样仍然每个区间操作的复杂度是O(log2(n))。

 

标记有相对标记和绝对标记之分：

相对标记是将区间的所有数+a之类的操作，标记之间可以共存，跟打标记的顺序无关（跟顺序无关才是重点）。

所以，可以在区间修改的时候不下推标记，留到查询的时候再下推。

      注意：如果区间修改时不下推标记，那么PushUp函数中，必须考虑本节点的标记。

                 而如果所有操作都下推标记，那么PushUp函数可以不考虑本节点的标记，因为本节点的标记一定已经被下推了（也就是对本节点无效了）

绝对标记是将区间的所有数变成a之类的操作，打标记的顺序直接影响结果，

所以这种标记在区间修改的时候必须下推旧标记，不然会出错。

 

注意，有多个标记的时候，标记下推的顺序也很重要，错误的下推顺序可能会导致错误。

区间修改对应最基本的区间查询，比如：区间求和

为什么可以用懒惰标记？

当你在查询一个区间的时候，一定是从根节点遍历下来的，所以他的懒惰标记一定会被下推到你

要查询的区间，是不会错的。

(4)线段树的存储结构：

线段树是用数组来模拟树形结构，对于每一个节点R ,左子节点为 2*R (一般写作R<<1)右子节点为 2*R+1（一般写作R<<1|1）

然后以1为根节点，所以，整体的统计信息是存在节点1中的。

这么表示的原因看下图就很明白了，左子树的节点标号都是根节点的两倍，右子树的节点标号都是左子树+1：

线段树需要的数组元素个数是：,一般都开4倍空间，比如： int A[n<<2];

 

 

三：递归实现

以下以维护数列区间和的线段树为例，演示最基本的线段树代码。

#define maxn 100007  //元素总个数  
#define ls l,m,rt<<1  
#define rs m+1,r,rt<<1|1  
int Sum[maxn<<2],Add[maxn<<2];//Sum求和，Add为懒惰标记   
int A[maxn],n;//存原数组数据下标[1,n]   

 

(1)建树：

//PushUp函数更新节点信息 ，这里是求和  
void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}  
//Build函数建树   
void Build(int l,int r,int rt){ //l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  
    if(l==r) {//若到达叶节点   
        Sum[rt]=A[l];//储存数组值   
        return;  
    }  
    int m=(l+r)>>1;  
    //左右递归   
    Build(l,m,rt<<1);  
    Build(m+1,r,rt<<1|1);  
    //更新信息   
    PushUp(rt);  
}  

 

(2)点修改：

假设A[L]+=C:

void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  
    if(l==r){//到叶节点，修改   
        Sum[rt]+=C;  
        return;  
    }  
    int m=(l+r)>>1;  
    //根据条件判断往左子树调用还是往右   
    if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);  
    else       Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);  
    PushUp(rt);//子节点更新了，所以本节点也需要更新信息   
}   

 

(3)区间修改：

void Update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号   
    if(L <= l && r <= R){//如果本区间完全在操作区间[L,R]以内   
        Sum[rt]+=C*(r-l+1);//更新数字和，向上保持正确  
        Add[rt]+=C;//增加Add标记，表示本区间的Sum正确，子区间的Sum仍需要根据Add的值来调整  
        return ;   
    }  
    int m=(l+r)>>1;  
    PushDown(rt,m-l+1,r-m);//下推标记  
    //这里判断左右子树跟[L,R]有无交集，有交集才递归   
    if(L <= m) Update(L,R,C,l,m,rt<<1);  
    if(R >  m) Update(L,R,C,m+1,r,rt<<1|1);   
    PushUp(rt);//更新本节点信息   
}   

 

(4)区间查询：

询问A[L,R]的和

首先是下推标记的函数：

void PushDown(int rt,int ln,int rn){  
    //ln,rn为左子树，右子树的数字数量。   
    if(Add[rt]){  
        //下推标记   
        Add[rt<<1]+=Add[rt];  
        Add[rt<<1|1]+=Add[rt];  
        //修改子节点的Sum使之与对应的Add相对应   
        Sum[rt<<1]+=Add[rt]*ln;  
        Sum[rt<<1|1]+=Add[rt]*rn;  
        //清除本节点标记   
        Add[rt]=0;  
    }  
}  

然后是区间查询的函数：

int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//L,R表示操作区间，l,r表示当前节点区间，rt表示当前节点编号  
    if(L <= l && r <= R){  
        //在区间内，直接返回   
        return Sum[rt];  
    }  
    int m=(l+r)>>1;  
    //下推标记，否则Sum可能不正确  
    PushDown(rt,m-l+1,r-m);   
      
    //累计答案  
    int ANS=0;  
    if(L <= m) ANS+=Query(L,R,l,m,rt<<1);  
    if(R >  m) ANS+=Query(L,R,m+1,r,rt<<1|1);  
    return ANS;  
}   

 

(5)函数调用:

//建树   
Build(1,n,1);   
//点修改  
Update(L,C,1,n,1);  
//区间修改   
Update(L,R,C,1,n,1);  
//区间查询   
int ANS=Query(L,R,1,n,1);  

 

（2）：最长连续零

题目：Codeforces 527C Glass Carving   题解

题意是给定一个矩形，不停地纵向或横向切割，问每次切割后，最大的矩形面积是多少。

最大矩形面积=最长的长*最宽的宽

这题，长宽都是10^5，所以，用01序列表示每个点是否被切割，然后，

最长的长就是长的最长连续0的数量+1

最长的宽就是宽的最长连续0的数量+1

于是用线段树维护最长连续零

 

问题转换成：

目标信息：区间最长连续零的个数

点信息：0 或 1

由于目标信息不符合区间加法，所以要扩充目标信息。

 

转换后的线段树结构：

区间信息：从左，右开始的最长连续零，本区间是否全零，本区间最长连续零。

点信息：0 或 1

然后还是那2个问题：

 

1.区间加法：

这里，一个区间的最长连续零，需要考虑3部分：

-（1）：左子区间最长连续零

-（2）：右子区间最长连续零

-（3）：左右子区间拼起来，而在中间生成的连续零（可能长于两个子区间的最长连续零）

而中间拼起来的部分长度，其实是左区间从右开始的最长连续零+右区间从左开始的最长连续零。

所以每个节点需要多两个量，来存从左右开始的最长连续零。

然而，左开始的最长连续零分两种情况，

--（1）：左区间不是全零，那么等于左区间的左最长连续零

--（2）：左区间全零，那么等于左区间0的个数加上右区间的左最长连续零

于是，需要知道左区间是否全零，于是再多加一个变量。

最终，通过维护4个值，达到了维护区间最长连续零的效果。

 

2.点信息->区间信息 ： 

如果是0，那么  最长连续零=左最长连续零=右最长连续零=1 ，全零=true。

如果是1，那么  最长连续零=左最长连续零=右最长连续零=0， 全零=false。

 

至于修改和查询，有了区间加法之后，机械地写一下就好了。

由于这里其实只有对整个区间的查询，所以查询函数是不用写的，直接找根的统计信息就行了。

例题：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1698

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2777

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2528

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3667

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=2828

http://acm.zcmu.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1948   

 题解：https://blog.csdn.net/qq_41713256/article/details/80482763

http://hdu.hustoj.com/showproblem.php?pid=4578（懒惰标记下推顺序）

题解：https://blog.csdn.net/qq_41713256/article/details/80496874

区间合并：http://hdu.hustoj.com/showproblem.php?pid=3308

题解：https://blog.csdn.net/qq_41713256/article/details/80508611

这些题目一定要做完，，，，，，，