【算法设计与分析】动态规划设计思想介绍

动态规划

Dynamic Programming

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1.学习要点:

动态规划算法的基本要素

（1）最优子结构性质
（2）重叠子问题性质

设计动态规划算法的步骤。

(1)找出最优解的性质，并刻划其结构特征。
(2)递归地定义最优值。
(3)以自底向上的方式计算出最优值。
(4)根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

2.经典应用范例

（1）矩阵连乘问题；
（2）最长公共子序列；
（3）最大子段和
（4）凸多边形最优三角剖分；
（5）多边形游戏；
（6）图像压缩；
（7）电路布线；
（8）流水作业调度；
（9）背包问题；
（10）最优二叉搜索树。

3.算法总体思想

①动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题

②但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些子问题被重复计算了许多次。

③如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项式时间算法。

4.动态规划基本步骤

找出最优解的性质，并刻划其结构特征。

递归地定义最优值。

以自底向上的方式计算出最优值。

根据计算最优值时得到的信息，构造最优解。

步骤(1)~(3)是动态规划算法的基本步骤。在只需要求岀最优值的情形，步骤(4)可以省略，步骤(3)中记录的信息也较少；若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤(4)，步骤(3)中记录的信息必须足够多以便构造最优解。

5.动态规划问题的特征

动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。

(1) 最优子结构：当问题的最优解包含其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。

(2) 重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。