离散数学 9.特殊图

欧拉图

1. 定义：设G是无孤立结点的图,若存在一条通路(回路),经过图中每边一次且仅一次, 则称此通路(回路)为该图的一条欧拉通路(回路)。具有欧拉回路的图称为欧拉图（平凡图为欧拉图）
2. 欧拉通路是经过图中所有边的通路中长度最短的通路。
3. 无向欧拉图的判定定理
   • 无向图G=< V,E>具有一条欧拉通路，当且仅当G是连通的，且仅有零个或两个奇度数结点。
   • 无向图G=< V,E>具有一条欧拉回路，当且仅当G是连通的，并且所有结点的度数均为偶数。
4. 有向欧拉图的判定定理：
   - 欧拉通路特点：有一个结点的入度比出度大1，另一个结点的出度比入度大1，其余结点的入度等于出度。
   - 欧拉回路：当且仅当G是连通的，且所有结点的入度等于出度。
5. Fleury算法（求无向图的欧拉回路）：依次选边，每选一条边就从图中删去。选取条件是:与上一条已选取的边关联;除非无别的边可选，否则不能选割边。

哈密顿图

1. 定义：一个无向或有向图，若存在一条通路（回路），经过图中每个结点一次且仅一次，则称此通路（回路）为该图的一条哈密顿通路（回路）。
2. 哈密顿通路（回路）是经过图中所有结点的通路中长度最短的通路（回路）。
3. 哈密顿图的必要条件：设无向图G=是哈密顿图，V1是V的任意非空子集，则有当图为哈密顿回路时 p(G - V1)<=|V1|
   当图为哈密顿通路是有p(G - V1) <= |V1| +1
   ,其中P(G - V1)是删除结点V1后的连通分支数。
4. 有割点的图一定不是哈密顿图。
5. 哈密顿图的充分条件：设G=< V,E>是具有n个结点的简单无向图，n≥3。如果对任意v∈V,均有deg(v)≥n/ 2 ,则G是哈密顿图。
6. 另外的判定方法：任取结点用A标记，相邻用B标记，B相邻的结点用A标记，如果标记为A的数目和标记为B的数目相同或相差1个，则有一条哈密顿通路，否则不存在。

偶图

1. 若无向图G=< V,E>的结点集V能够划分为两个子集V, V2,满足V1 ∩ V2=∅，且V1∪V2=V,使得G中任意一条边的两个端点，一个属于V1,另一个属于V2,则称G为偶图或二分图或二部图。Vi 和V2称为互补结点子集,偶图通常记为G=< V1,E,V2>.
2. 在偶图G=< V1,E,V2>中，若V1中的每个结点与V2 中的每个结点都有且仅有一条
   边相关联,则称偶图G为完全偶图或完全二分图。记为K_i,j
3. 偶图的充分必要条件：无向图G = 为偶图的充分必要条件是所有回路的长度均为偶数。
4. 在偶图中G = 中，存在E’ = {(v1,v’1),(v2,v’2)…}，其中v’1,v’2是V2中的不同结点，则称G的子图G’ =为从V1到V2的一个完全匹配

平面图

1. 如果能够把一个无向图G的所有结点和边画在平面上，使得任何两边都不会在非结点处交叉，则称G为平面图。
2. 有边包围的其内部不包含图的结点和边的区域，称为G的一个面，包围该面的边构成的回路称为这个面的边界，面r的边界长度称为该面的次数。（最外围边向外包围形成一个无限面）
3. 所有面次数之和等于边数的二倍。
4. 设G = 是连通平面图，若它有n个结点，m条边和r个面，则有 n- m +r =2（由欧拉公式关于凸面体推出来）
5. 欧拉公式推论：
   - 设G是一个（n,m）简单连通平面图，若m>1，则有m<=3n -6；不满足这个公式则一定是非平面图。
   - 若每个面的次数至少为k(k>=3)；则有m <=k (n-2)/(n-2);不满足这个公式则一定是非平面图。
6. 如果两个图G1和G2同构，或经过反复插入或消去2度结点后同构，则称G1与G2 同胚。
7. 从图G中删除边e,将e的两个端点重合，用一个新的结点w代替，称为边e的收缩。
8. 一个图是平面图的充分必要条件是它的任何子图都不与K5 或K3,3同胚。
   一个图是平面图的充分必要条件是它的任何子图都不能收缩为K5或K3,3.