NOIP2017 D1T1 小凯的疑惑

小凯的疑惑

题目背景：

NOIP2017 D1T1

分析：结论 or 扩展欧几里得

 

正解答案就是x * y - x - y，可以用剩余系比较简单的证明，然而我用了扩欧来写，然后今天花了一段时间来证明他是等价的。下面来讲讲我自己的结论证明。

首先因为可以构造出的每一个数，都应该是形如ax + by的形式，那么要将ax + by变成ax + by + 1实际上就是减少一些x变成y，或者是减少一些y，变成x，那么我可以用扩欧获得满足条件的最小的ax - by = 1, cy - dx = 1, a, b, c, d都可以很方便的求得。然后我们就可以发现我们每一次的+1操作应该都是通过将by变成ax，或者dx变成cy来达成，那么最大的不能实现加一操作的数应该就是(b - 1)y + (d - 1)x，所以(b - 1)y + (d - 1)x + 1是一定不能表出的，那么如何证明这一定是最大的，我们考虑证明(b - 1)y + (d - 1)x + 2是一定能够被表出的，观察上面获得的等式ax - by = 1, dx - cy = -1, 那么(a + d)x = (b + c)y，显然a < y, b < x, d < y, c < x，(x, y) = 1，那么a + d = y, b + c = x，下面我们来证明一个结论，存在a >= y / 2, 且b >= x / 2, 或者d >= y / 2, 且c >= x / 2。我们不妨设x > y，a >= d，假设结论不成立，则必然存在a > y / 2，b < x / 2，稍作放缩可以获得，a >= (y + 1) / 2，b <= (x - 1) / 2，代入等式ax = by + 1，那么ax >= (xy + x) / 2，by + 1 <= (xy - y) / 2 + 1，那么xy + x <= xy - y + 2，x + y <= 2，因为原题数据在正整数范畴，只有1,1满足条件，但是数据保证存在这么一个值，所以1,1不是可行数据，所以结论在本题数据的范畴下是成立的，考虑这个结论有什么意义。如果要得到+2的操作，只能通过2by转移到2ax，或者通过2dx转移到2cy，因为，存在上述结论，如果满足的是a，b那么说明2 * b >= x，且2 * a >= y，那么我们就可以通过(2b - x) * y转移到(2a - y) * x，因为2 * b < x + b的，那么2 * b - x < b，同理2 * a - y < a，所以一定可以达成+2的转移，到此，得证(b - 1)y + (d - 1)x + 1为最大的不可行数，然后我们来证明上面等式与x * y - x - y等价，考虑(a + d)x = xy = by + 1 + dx，所以(b - 1)y + (d - 1)x + 1 = xy - x - y，得证。(感觉评论区会有一群骂我zz的人······)

 

Source

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long long a, b, x1, x2, x, y, a1, a2, temp;
inline void ext_gcd(long long a, long long b) {
	if (b == 0) x = 1, y = 0;
	else ext_gcd(b, a % b), temp = x, x = y, y = temp - a / b * y;
}

inline void solve() {
	std::cin >> a >> b;
	if (a == 1 || b == 1) std::cout << 0, exit(0);
	ext_gcd(a, b), x1 = (x % b + b) % b, a1 = (a * x1 - 1) / b - 1;
	ext_gcd(b, a), x2 = (x % a + a) % a, a2 = (b * x2 - 1) / a - 1;
	std::cout << a1 * b + a2 * a + 1;
}

int main() {
//	freopen("math.in", "r", stdin);
//	freopen("math.out", "w", stdout);
	solve();
	return 0;
}