前缀和、差分与树上差分
1.结论
1.1 前缀和：前缀和可以通过对一个序列进行O（n）的预处理后，在O（1）时间内求出任意一个子序列的和。
1.2 差分：可以用于求解多次区间修改与区间询问的题型，例如多次次给[ l , r ] 内所有数 + val，就可以用差分以及前缀和来优化。区间操作O（1），区间询问O（n）处理，O（1）查询。
1.3 树上差分：同样的，如果我们有若干次操作与若干次询问，每次操作对从u 到 v 路径上所有节点加一个值，那么我们用树上差分可以将时间复杂度控制在O（1）上，询问同样是O（n）处理，O（1）查询。
2.前缀和
2.1 问题描述：给出一串长度为 n 的数列a1,a2,a3......an,再给出m个询问，每次询问给出L，R两个数，要求给出区间[L,R]里的数的和。
2.2 朴素思路：最简单的做法就是设置一个变量sum，将所有处在区间内的数累加到 sum 上，最后输出sum的值即为答案。但是这样的时间复杂度为O（nm），难以接受。
2.3 前缀和：假设我们开一个数组sum，sum[ i ]存放数列中前 i 个元素的和，即![sum[i] = \sum_{j = 1}^{i}num[i]](http://img.e-com-net.com/image/info8/ab66fdf6adec468b901b4c5c652e4274.gif)
，那么每次询问，我们可以直接给出答案ans = sum[ R ] - sum[ L - 1 ]。这样写预处理的时间复杂度为O（n），每次询问O（1）。
3.差分
3.1 问题描述：给出一串长度为 n 的数列a1,a2,a3......an , 给出k次操作，每次操作给出L、R、val，要求对[L , R]内所有元素加上val，再给出m个询问，每次询问给出L，R两个数，要求给出区间[L,R]里的数的和。
3.2 朴素思路：很容易想到的做法就是每次给出L R 和 val后，我们就挨个对[ L, R ] 内所有元素+val，再在询问时将答案挨个加起来。这样时间复杂度为O（kmn），不能接受。
3.3 差分：
既然之前我们可以用前缀和来进行优化，这里我们是否也可以用前缀和试着优化呢？
假设 sum 数组初始值全是为 0 ，如果我们要将 [ L , R ] 上所有元素 + val，那么我们设sum[ L ] = val，sum[ R ] = -val。这样一来当我们询问时，我们对sum数组进行一次更新，即sum[ i ] = sum[ i - 1 ] + ai；那么此时的sum数组就是在进行 k 次操作后的数组的前缀和数组。
根据2.3我们可知，这样查询的效率为O（1），于是时间复杂度就成了O（k+n）。
4.树上差分
4.1 问题描述：
- 给定一棵有N个点的树，所有节点的权值初始时都为0。
- 有K次操作，每次指定两个点u , v，将 u 到 v 路径上所有点的权值都+1。
- 请输出K次操作完毕后权值最大的那个点的权值。
4.2 朴素思路：不用多想，最暴力的做法就是我们找到 u 到 v 路径上的所有点并+1（可以利用lca）。最后再遍历所有点查找权值最大的点并输出。这样时间复杂度为O（KN），这还不包括 lca 查找路径的时间。
4.3 求u到v的路径：求那么我们知道，如果假设我们要考虑的是从u到v的路径，u 与 v 的 lca 是 a ，那么很明显，如果路径中有一点 u′ 已经被访问了，且 u′ ≠ a ，那么 u' 的父亲也一定会被访问。所以，我们可以将路径拆分成两条链，u -> a 和 a -> v。
4.4 树上差分：常见的树上差分有两种形式，即
- 关于边的差分
- 关于点的差分。
4.4.1 关于边的差分：
将边拆成两条链之后，我们便可以像差分一样来找到路径了。用 cf[ i ] 代表从i到i的父亲这一条路径经过的次数。因为关于边的差分，a 是不在其中的，所以考虑链 u -> a，则就要使cf[ u ]++，cf[ a ]−−。然后链a -> v，也是cf[ v ]++，cf[ a ]−−。所以合起来便是cf[ u ]++，cf[ v ]++，cf[ a ]−=2。然后，从根节点，对于每一个节点x，都有如下的步骤：
（1）枚举x的所有子节点u
（2）dfs所有子节点u
（3）cf[ x ] + = cf[ u ]
那么，为什么能够保证这样所有的边都能够遍历到呢？因为我们刚刚已经说了，如果路径中有一点u′已经被访问了，且u′≠a，那么u′的父亲也一定会被访问。所以u′被访问几次，它的父亲也就因为u′被访问了几次。所以就能够找出所有被访问的边与访问的次数了。路径求交等一系列问题就是通过这个来解决的。因为每个点都只会遍历一次，所以其时间复杂度为Θ(n).
4.4.2 关于点的差分：
还是与和边的差分一样，对于所要求的路径，拆分成两条链。步骤也和上面一样，但是也有一些不同，因为关于点，u与v的lca是需要包括进去的，所以要把lca包括在某一条链中，用cf[ i ] 表示 i 被访问的次数。最后对 cf 数组的操作便是cf[ u ]++，cf[v]++，cf[ a ]−−，cf[ father[a] ]−−。其时间复杂度也是一样的Θ(n).