无监督学习 | DBSCAN 原理及Sklearn实现

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1. 密度聚类

密度聚类亦称“基于密度的聚类”（Density-Based Clustering），此类算法假设聚类结构能通过样本分布的紧密程度确定。通常情况下，密度聚类算法从样本密度的角度来考察样本之间的可连接性，并基于可连接样本不断扩展聚类簇以获得最终的聚类结果^[1]。这类算法可以克服 KMeans、BIRCH等只适用于凸样本集的情况。

常用的密度聚类算法：DBSCAN、MDCA、OPTICS、DENCLUE等。^[2]

密度聚类的主要特点是：

（1）发现任意形状的簇

（2）对噪声数据不敏感

（3）一次扫描

（4）需要密度参数作为停止条件

（5）计算量大、复杂度高

2. DBSCAN

DBSCAN（具有噪声的基于密度的空间聚类，Density-Based Spatial Clustering of Applications with Noise）是一种著名的密度聚类算法，它基于一组“邻域”（neighborhood）参数（$\epsilon ,MinPts$）来刻画样本分布的紧密程度。

首先我们通过一个简单的例子来介绍 DBSCAN，对于以下数据，我们任意选取一个点，定义一个以 $ϵ$ 为半径的邻域，若邻域内没有其他点，则这个点定义为噪声或异常点。

图1 邻域半径及噪声点

若这个点不是噪声，则考虑第二个参数：邻域内最少样本个数 $MinPts$，若某点邻域内最少样本个数不少于 $MinPts$，则这个点定义为核心点。对于该邻域内的非核心对象，定义为边界点，假设 $MinPts$=5 ，则聚类过程如下图所示：

图2 邻域内样本个数少于最少个数 图3 核心点与边界点

同理，继续扫描其余的点，可得其他簇：

图4 两个不同的聚类簇

下面，我们将通过严格的数学定义，来描述 DBSCAN 聚类算法。

2.1 算法原理

首先，给定数据集 $D=\{x_1,x_2,...,x_m\}$，我们定义下面几个概念：

• $ϵ$ 邻域：对 $x_j\in D$，其 $ϵ$ 邻域包含数据集 $D$ 中与 $x_j$ 的距离不大于 $ϵ$ 的样本，即 $N_{ϵ}=\{x_o\in D|dist(x_i,x_j\le ϵ)\}$；

• 核心对象（core object）：若 $x_j$ 的 $\epsilon$ 邻域至少包含 $MinPts$ 个样本，即 $|N_{ϵ}(x_j)\ge MinPts|$，则 $x_j$ 是一个核心对象；

• 密度直达（directly density-reachable）：若 $x_j$ 位于 $x_i$ 的 $ϵ$ 邻域中，且 $x_i$ 是核心对象，则称 $x_j$ 由 $x_i$ 密度直达；

• 密度可达（density-reachable）：对 $x_i$ 与 $x_j$，若存在样本序列 $p_1,p_2,...,p_n$，其中 $p_1=x_i,p_n=x_j$ 且 $p_{i+1}$ 由 $p_i$ 密度直达，则称 $x_i$ 由 $x_j$ 可达；

• 密度相连（density-connected）：对 $x_i$ 与 $x_j$，若存在 $x_k$ 使得 $x_i$ 与 $x_j$ 均由 $x_k$ 密度可达，则称 $x_i$ 与 $x_j$ 密度相连。

对于邻域中的距离函数 dist(⋅,⋅)，在默认情形下设为欧式距离。

下图给出了上述概念的直观显示，假设 $MinPts=3$：虚线显示出 $ϵ$ 邻域,$x_1$ 是核心对象， $x_2$ 由 $x_1$ 密度直达，$x_3$ 由 $x_1$ 密度可达，$x_3$ 与 $x_4$ 密度相连。

图4 样本点划分示意图

---

基于这些概念，DBSCAN 将“簇”定义为：密度可达关系导出的最大的密度相连样本集合。形式化地说，给定邻域参数（$ϵ,MinPts$），簇 $C\subseteq D$ 是满足以下性质的非空样本子集：

$$连接性（connectivity）：x_i\in C,x_j\in C\Rightarrow x_i与x_j密度相连\text{\hspace{1em}(1)}$$

$$最大性（maximality）：x_i\in C,x_j由x_i密度可达\Rightarrow x_j\in C\text{\hspace{1em}(2)}$$

若 $x$ 为核心对象，则 $x$ 密度可达的所有样本组成的集合记为 $X=\{x^{\prime }\in D|x^{\prime }由x密度可达\}$，其中 $X$ 为满足连接性和最大性的簇。

于是，DBSCAN 算法先任选数据集中的一个核心对象为“种子”（seed），再由此出发确定相应的聚类簇。

算法描述如下图所示，

• 在第 1-7 行中，算法先根据给定的邻域参数（$ϵ,MinPts$）找出所有核心对象；

• 在第 10-24 行中，以任一核心对象为出发点，找出由密度可达的样本以生成聚类簇，知道所有核心对象均被访问过为止。

图5 DBSCAN 算法

3. DBSCAN 优缺点

3.1 优点

（1）不用指明类别数量；

（2）能灵活找到并分离各种形状和大小的类；

（3）能很好地处理噪声和离群点。

3.2 缺点

（1）对于从两个类均可达的边界点，由于各个点是被随机访问的，因此 DBSCAN 不能保证每次都返回相同聚类；

（2）在不同密度的类方面有一定难度。

3.3 与 KMeans 比较

从下面的图中可以看出，DBSCAN 在不规则的数据上，能更好地分类。

图6 DBCASAN 与 KMeans 聚类效果比较

4. SKlearn 实现

sklearn.cluster.DBSCAN(eps=0.5, min_samples=5, metric=’euclidean’, metric_params=None, algorithm=’auto’, leaf_size=30, p=None, n_jobs=None)

eps : float, optional 【$ϵ$】

The maximum distance between two samples for one to be considered as in the neighborhood of the other. This is not a maximum bound on the distances of points within a cluster. This is the most important DBSCAN parameter to choose appropriately for your data set and distance function.

min_samples : int, optional 【$MinPts$】

The number of samples (or total weight) in a neighborhood for a point to be considered as a core point. This includes the point itself.

5. 在线可视化 DBSCAN

你可以通过这个网站选择样本分布和参数，并在线可视化 DBSCAN 聚类的过程。

参考文献

[1] 周志华. 机器学习[M]. 北京: 清华大学出版社, 2016: 211.

[2] liuy9803.机器学习之密度聚类算法[EB/OL].https://blog.csdn.net/liuy9803/article/details/80812489, 2018-06-26 .