汉诺塔问题，递归图解

图解递归汉诺塔问题

一、汉诺塔问题背景
相传在古印度圣庙中，有一种被称为汉诺塔(Hanoi)的游戏。该游戏是在一块铜板装置上，有三根杆(编号A、B、C)，在A杆自下而上、由大到小按顺序放置64个金盘（如下图所示）。游戏的目标:把A杆上的金盘全部移到C杆上，并仍保持原有顺序叠好。操作规则:每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于A、B、C任一杆上。

二、程序代码分析

void Hanoi(int n, char a, char b,char c)//n代表盘片数目，a,b,c代表三根杆
{
   if(n==1)//递归出口，当起始杆上只有一个盘片时，直接移动到最终目标杆c上
       printf("  盘片%d从%c--->%c\n",n,a,c);
   else
   {
   	   Hanoi(n-1,a,c,b);
	   printf("  盘片%d从%c--->%c\n",n,a,c); 
	   Hanoi(n-1,b,a,c);
   }  
}

（#下方一大波文字来袭）
我们假设Hanoi(int n, char a, char b,char c)中a,b,c所处的位置分别代表起始杆，中间杆和目标杆（注意：不是a,b,c杆代表起始杆，中间杆和目标杆，而是它们所处的位置即在n后面的第一个位置，第二个位置和第三个位置）。
（1）从最简单的情况来看，当只有一个盘片的时候，盘片直接从起始杆a上直接移动到目标杆c上；

（2）当起始杆a上有2个盘片的时候(即n=2，这一段提到的n都等于2)，Hanoi1(2,a,b,c)，它俩的共同目标都是c杆，这时，对于盘片1来说想去c杆按理说相当容易，直接从起始杆a跳到c杆就好了，但是盘片2比盘片1要大，它底下还有个老大盘片2呢，为了满足游戏规则，让老大盘片2先到c杆上，盘片1就只能先以杆b作为临时目标杆，先从起始杆a杆上跳到b杆上，就相当于代码中的Hanoi1(n-1,a,c,b)这一部分（这时b杆作为盘片1的目标杆，b杆处在目标杆的位置上）；当盘片1移动到杆b后，紧接着盘片2就从起始杆a直接移动到最终的目标杆c上，就相当于对应代码中的printf(" 盘片%d从%c—>%c\n",n,a,c) 这一部分，待盘片2移动完后，盘片1终于可以心安理得地将b杆作为它的起始杆，从b杆移动到最终目标杆c上了，对应代码中的Hanoi1(n-1,b,a,c)这一部分（此时c杆就是盘片1的目标杆了，c杆又重新处在了目标杆的位置上）；




（3）进一步分析，当n=3时，显然不满足n==1的条件，因而进入Hanoi1(n-1,a,c,b)即Hanoi1(2,a,c,b)再一次递归，这时b杆处在了目标杆的位置上，分析这个函数Hanoi1(2,a,c,b)，两个盘片，转到（2）中，从（2）的分析中，我们不难得出，不管这两个盘片的移动过程，最终它们都能够移动到心仪的**目标杆（注意（2）中的目标杆是c，而此时Hanoi1(2,a,c,b)的目标杆是b）**上，按照这个思路，当这三个盘片中的盘片1和盘片2都移动到b杆上之后（也就是Hanoi1(2,a,c,b)结束之后），剩下的盘片3就轻松的移动到最终目标杆c上了，盘片3的移动同样对应代码中的printf(" 盘片%d从%c—>%c\n",n,a,c)这一部分，待盘片3移动完后，就该盘片1和盘片2再次动身移动了，即就该解决Hanoi(2,b,a,c)了，根据上面的分析，这时我们发现剩下的这两个盘片，它们的目标杆又变回到最终的目标杆c了，当然此时，对于盘片1和盘片2来说，它们的起始杆变为了b杆（b杆处在起始杆的位置），结合（2）分析，不管这两个盘片的移动过程，最终它们都能够按照游戏规则从起始杆移动到目标杆（这时目标杆c）上；

Hanoi(3, a, b, c)

Hanoi1(2,a,c,b)之后

printf(" 盘片%d从%c—>%c\n",3,a,c)之后

Hanoi(2,b,a,c)之后

（4）当n=4，同样的，可以借助（3）和（2）的分析得出结论，当Hanoi(3,a,c,b)（即盘片1和盘片2和盘片3都在b盘上）解决后，处于初始杆a最底层的盘片4将直接从a移动到目标盘c上（对应printf(" 盘片%d从%c—>%c\n",n,a,c)），然后在Hanoi(3,b,a,c)结束（即盘片1和盘片2和盘片3最终都移到c盘上）后，剩下的三个盘片都可最终都可以移动到c杆上；n=5，6，7…一样的思路（如果不闲麻烦的小伙伴可以自己仔细的分析一遍哈）

（5）通过分析，不难发现，上面的代码有一个很好的理解思路，n==1的情况比较简单，主要分析n>1的情况。当n>1的时候，可以将这n个盘片看作两部分，即第n个盘片和前面的(n-1)个盘片（就是将前面n-1个盘片看作一个整体，为了方便，就叫盘片整体n-1）两部分，这就相当于（2）中的两个盘片，盘片n对应盘片2，盘片整体n-1对应盘片1，先将整体n-1个盘片通过Hanoi(n-1,a,c,b)移动到b杆上，然后将盘片n直接从a杆移动到c杆上，最后再通过Hanoi(n-1,b,a,c)将盘片整体n-1移动到最终的目标杆c上，至于怎么移动，这就是计算机根据这个函数要自己去解决的问题了。（这么费脑细胞的事情，就让计算机自己去解决吧）

（6）总之，对于汉诺塔递归函数来说，当n>1时，它最先要解决的是最顶层的盘片移动问题，即Hanoi(int n, char a, char b,char c)一直不断的重复调用自己，从n到n-1到n-2到n-3…一直到1的时候，即到达起始杆当前最顶层的盘片时，先将最顶层的盘片移开，然后再移动其下面一层的盘片，然后再移动下下一层的盘片，然后再（这些盘片要先找一个临时的目标杆存放）…一直移动到起始杆上只有最底层的盘片时，将其直接移动到最终目标杆c上，这样的过程一直往复进行，直到所有的盘片都移动到最终目标杆c上，至于这些盘片移动到哪根杆上、是如何移动的，这个是计算机可以解决的，当然在这些盘片移动的过程中，为了满足游戏规则，它们的临时目标杆会不断变化，这也是计算机考虑的，我们在设计算法的时候可以不用去考虑。这个分析可以结合下面的图解说明一起理解。

三、图解说明
为了方便，假设n=64；下面的图片中c是最终目标杆；（若啰嗦，可以直接跳到结尾看小结）
刚开始的时候，a是起始杆，b是中间杆，c是目标杆，如下图所示数字越大代表盘片越大，n=64明显属于n>1的情况，这个时候起始杆a上的所有盘片都想要去目标杆c杆上，按照游戏规则，首先应该是盘64先去c杆上，但是盘64前面还压着63个小盘，没办法直接从a跳到c上，盘64只好对离自己最近的盘63说“我要去c杆”，那盘63也很无奈呀，（盘63想要是我能出去的话，肯定不能直接去c杆，要先在b杆上待会儿）但是现在上面压着62个比自己小的盘片，也不能直接从杆a直接出去呀，然后盘63又对离自己比较近的盘62说“盘64要去c杆”，然后盘62也无奈，（盘62想要是我能出去的话，肯定不能直接去c杆，要先在b杆上待会儿），接着就一直往a杆顶一直传消息，直到传到盘1那里，好了，现在盘1上面已经没有盘片了，可以直接移动了，但是问题来了，盘1想从我开始到盘63都要在b杆上待会儿，空出c杆让盘64先过去，那要怎么移动才能最终把c杆给空出来，让最大的盘64到c杆底层呢？于是它就和盘2到盘63一起商量，想出了一套属于盘1到盘63的移动规则，即解决（此时b杆就是盘（64-1）的目标杆了）为了让盘64在c杆的底层，盘1到盘63的目标杆变为了b杆,为了让盘63在b杆的底层，盘1到盘62的目标杆变为了c杆，为了让盘62在目标杆c上，盘1到盘61目标杆为b杆，为了让盘61在目标杆b上，盘1到盘61目标杆为c杆（到此为止，盘1已经有了额？个目标盘了…）…盘1先怎么移，盘2又怎么移，盘3…再怎么移的问题；（具体怎么移动，计算机可以解决，就像二、中的分析一样）

好了，这个时候按照盘1到盘63商量好的移动规则，盘1到盘63就一直移啊移移啊移，盘64就看着它们一直移啊移移啊移…最终不知道什么时候，它们都按照游戏规则移到了b杆上，

这时候，等待了不知多久的盘64终于可以激动地从起始杆a杆上直接跳到最终目标杆c杆上了；然后这时候，看到盘64已经去到了c杆上，盘63也按捺不住，对离它最近的盘62说“我也要去c盘”…然后就这样一直又传到盘1那里，盘1到盘62经过了第一次的移动，它们有了经验，一起商量好移动规则，这次它们的临时目标杆变为了a杆，b杆对于它们来说此时就是起始杆了，

说移就移，这回就是盘63看着盘1到盘62一直移啊移移啊移，也是不知看了多久，最终，盘1到盘62从b杆都移动到了a杆上，

此时，盘62也激动地从杆b（此时b杆对于盘63来说是起始杆）直接跳到了目标杆c上了；那接下来就轮到了盘62…盘61…

一直移…不知过了多少亿年，最终只剩下盘1了，此时的b杆对于盘1来说就是它的起始杆（为什么b杆是它的起始杆，可以自己去找找规律推一下霍），终于起始杆上只有它一个盘片了，

那就很简单了，盘1鼓足干劲，直接从b杆底部跳到了目标杆c杆顶层，和其他的盘相遇了。（最累的就是盘1了，一直在移动，盘1的移动次数最多）

（1）简单来理解，上面一堆啰嗦的话概括起来就是，将盘1到盘63看作一个整体，**这样64个盘片就分成了两部分，这就相当于两个盘片在移动，**盘64要到目标杆c上，得先让它前面的63个盘片移动到b杆上（即要解决Hanoi1(63,a,c,b)），这个时候b杆对于这63个盘片来说就是它们暂时得目标杆，所以Hanoi1(63,a,c,b)中b杆处在了目标杆的位置上，当这个整体都移动到了b杆上之后（至于怎么移动，这个计算机会解决的），盘64就可以直接从起始杆a移动到目标杆c上了，盘64移完之后，剩下的这个整体（63个盘片）就可以将目标杆换为c杆，然后移动到c杆上就好了，即解决Hanoi1(63,b,a,c),这时我们发现因为这个整体现在都是b杆上，它们都是要从b杆移动到目标杆c上的，此时的b杆对于这63个整体盘片来说是它们的起始杆，所以b杆处在了起始杆的位置上。（注意我们在此处假设的是只有两个盘片，盘片64和前63个整体盘片）

（2）既然64个盘片可以这样来理解，那假设现在不是64个盘片，而是63个盘片，我们也可以把它看作盘片63和前62个盘片整体两部分，也是一样的分析思路，再接下来假设杆上只要移62个盘片，那么可以把它们看作盘62和前61个盘片整体两部分，…一直到假设到题目只给两个盘片的时候，我们都发现这样的分析思路是合乎逻辑的，即只有两个盘片，要先把其中小的盘片以a为起始杆移到b杆上，然后再从起始杆a上移动大的盘片到c杆上，最后再将b杆上的小盘片以b杆为起始杆移到c杆上；

（3）既然（2）中的分析是可行的，那么我们就可以往更多的盘片角度去分析，假设现在题目给65个盘片、66个盘片、67个盘片…一直到给n个盘片的时候，那我们就可以将这n个盘片看作盘片n和前（n-1）个盘片整体，先将这个整体移动到b杆上（对应Hanoi(n-1,a,c,b)），在将盘片n移到c杆上（对应printf(" 盘片%d从%c—>%c\n",n,a,c)），最后又将盘片整体（n-1）移到c杆上就可以了（对应Hanoi(n-1,b,a,c))；