最长公共子串方法及优化
最长公共子串
问题
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对于两个字符串，请设计一个时间复杂度为 O(m*n) 的算法(这里的m和n为两串的长度)，求出两串的最长公共子串的长度。这里的最长公共子串的定义为两个序列U1,U2,..Un和V1,V2,...Vn，其中Ui + 1 == Ui+1,Vi + 1 == Vi+1，同时Ui == Vi。
给定两个字符串A和B，同时给定两串的长度n和m。
测试样例：
"1AB2345CD",9,"12345EF",7
返回：4思路和实现
三种方法：
1. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(n^2)）
2. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(n)）
3. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(1)）1. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(n^2)）
采用动态规划，相当于构建一张 n * m 大小的表，表中第 i 行，第 j 列代表以字符串 A[i] 和 B[j] 为结束的子串的最长公共子串长度。那么状态转移方程为：
if i == 0 || j == 0:
dp[i][j] = A[i] == B[j] ? 1 : 0
else
dp[i][j] = A[i] == B[j] ? dp[i - 1][j - 1] + 1 : 0实现如下：
方法1 代码链接 - Java
public class Solution1 {
public int findLongest(String A, int n, String B, int m) {
if (n == 0 || m == 0) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[n][m];
int longest = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
for (int j = 0; j < m; ++j) {
if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[i][j] = 1;
}
else {
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
}
if (dp[i][j] > longest) {
longest = dp[i][j];
}
}
else {
dp[i][j] = 0;
}
}
}
return longest;
}
}2. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(n)）
从以上代码我们发现，执行过程为从第零行扫到最后一行，每一行从第零列扫到最后一列。而每一列的执行结果，要么等于 0 ，要么等于左上角加 1。因此，其实，用不着 n * m 的表格，只需要 2 * m 大小。通过与操作，确定当前行在 dp[0][j] 还是 dp[1][j]：
i from 0 to n - 1:
cur = (i & 1)
pre = ((i + 1) & 1)
j from 0 to m - 1:
// do dynamic planning实现如下：
方法2 代码链接 - Java
public class Solution2 {
public int findLongest(String A, int n, String B, int m) {
if (n == 0 || m == 0) {
return 0;
}
int[][] dp = new int[2][m];
int longest = 0;
for (int i = 0; i < n; ++i) {
int cur = (i & 1);
int pre = ((i + 1) & 1);
for (int j = 0; j < m; ++j) {
if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
if (i == 0 || j == 0) {
dp[cur][j] = 1;
}
else {
dp[cur][j] = dp[pre][j - 1] + 1;
}
if (dp[cur][j] > longest) {
longest = dp[cur][j];
}
}
else {
dp[cur][j] = 0;
}
}
}
return longest;
}
}3. 动态规划（时间复杂度 = O(n^2)，空间复杂度 = O(1)）
上面两种方法都是一行一列地扫过去，我们知道，每一个结果只有两种，要么等于 0，要么等于左上角加 1， 因此，其实只要我们改变一下执行顺序，改变为从左上角执行到右上角的斜线执行方式，我们就只需要一个额外的变量空间。
实现如下：
方法3 代码链接 - Java
public class Solution3 {
public int findLongest(String A, int n, String B, int m) {
if (n == 0 || m == 0) {
return 0;
}
int dp = 0;
int longest = 0;
// 上三角（包括对角线）
for (int k = 0; k < m; ++k) {
for (int i = 0, j = k; i < n && j < m; ++i, ++j) {
if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
if (i == 0 || j == 0) {
dp = 1;
}
else {
dp = dp + 1;
}
if (dp > longest) {
longest = dp;
}
}
else {
dp = 0;
}
}
}
// 下三角
for (int k = 1; k < n; ++k) {
for (int i = k, j = 0; i < n && j < m; ++i, ++j) {
if (A.charAt(i) == B.charAt(j)) {
if (i == 0 || j == 0) {
dp = 1;
}
else {
dp = dp + 1;
}
if (dp > longest) {
longest = dp;
}
}
else {
dp = 0;
}
}
}
return longest;
}
}