排序算法之 堆排序及时间复杂度分析

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堆排序

堆的概念：
本质是一种数组对象。特别重要的一点性质：任意的叶子节点小于（或大于）它所有的父节点。对此，又分为大顶堆和小顶堆，大顶堆要求节点的元素都要大于其孩子，小顶堆要求节点元素都小于其左右孩子，两者对左右孩子的大小关系不做任何要求。利用堆排序，就是基于大顶堆或者小顶堆的一种排序方法。下面，我们通过大顶堆来实现。
基本思想：

1. 首先将序列构建成大顶堆【位于根节点的元素一定是当前序列最大值】
2. 取出当前大顶堆的根节点，将其和序列末尾元素进行交换
   （此时的堆不一定满足大顶堆的性质）
3. 对剩余的n-1个序列元素进行调整，使其满足大顶堆的性质
4. 重复2，3步骤，直至堆中只有一个元素为止
   
   举例说明：
   给定一个列表array=[16,7,3,20,17,8]，对其进行堆排序。
   首先根据该数组元素构建一个完全二叉树，得到
   
   然后需要构造初始堆，则从最后一个非叶节点开始调整，调整过程如下：
   第一步: 初始化大顶堆(从最后一个有子节点开始往上调整最大堆)
   
   
   
   20和16交换后还不满足大顶堆的性质，因此再调整
   
   这样就得到了初始堆。
   第二步: 堆顶元素R[1]与最后一个元素R[n]交换，交换后堆长度减一

即每次调整都是从父节点、左孩子节点、右孩子节点三者中选择最大者跟父节点进行交换(交换之后可能造成被交换的孩子节点不满足堆的性质，因此每次交换之后要重新对被交换的孩子节点进行调整)。有了初始堆之后就可以进行排序了。

第三步: 重新调整堆。此时3位于堆顶不满堆的性质，则需调整继续调整(从顶点开始往下调整)


重复上面的步骤:

算法实现

//调整堆
void HeapAdjust(int a[],int s,int m)//一次筛选的过程
{
    int rc,j;
    rc=a[s];
    for(j=2*s;j<=m;j=j*2)//通过循环沿较大的孩子结点向下筛选
    {
        if(j<m&&a[j]<a[j+1]) j++;//j为较大的记录的下标
        if(rc>a[j]) break;
        a[s]=a[j];s=j;
    }
    a[s]=rc;//插入
}
void HeapSort(int a[],int n)
{
    int temp,i,j;
    for(i=n/2;i>0;i--)//通过循环初始化顶堆
    {
        HeapAdjust(a,i,n);
    }
    for(i=n;i>0;i--)
    {
        temp=a[1];
        a[1]=a[i];
        a[i]=temp;//将堆顶记录与未排序的最后一个记录交换
        HeapAdjust(a,1,i-1);//重新调整为顶堆
    }
}

时间复杂度

空间复杂度：堆排序数据交换时需要一个辅助空间，故空间复杂度是O（1）

在构建堆(初始化大顶堆)的过程中，完全二叉树从最下层最右边的非终端结点开始构建，将它与其孩子进行比较和必要的互换，对于每个非终端结点来说，其实最多进行两次比较和一次互换操作，因此整个构建堆的时间复杂度为: O(n)。大概需进行n/2 * 2 = n次比较和n/2次交换。

在正式排序时，n个结点的完全二叉树的深度为⌊log2n⌋+1，并且有n个数据则需要取n-1次调整成大顶堆的操作，每次调整成大顶堆的时间复杂度为O(log2n)。因此，重建堆的时间复杂度可近似看做: O(nlogn)。