贪心算法 - 最小生成树 Kruskal算法

关于最小生成树的概念，请参考前一篇文章：Prim算法。

Kruskal算法：

不停地循环，每一次都寻找两个顶点，这两个顶点不在同一个真子集里，且边上的权值最小。

把找到的这两个顶点联合起来。

初始时，每个顶点各自属于自己的子集合，共n个子集合。

每一步操作，都会将两个子集合融合成一个，进而减少一个子集合。

结束时，所有的顶点都在同一个子集合里，这个子集合就是最小生成树。

例子：

算法过程为：

代码实现：

public class Kruskal {

	public static final int NOT_REACHED = -1;

	public static void kruskal(int[][] E) {
		int n = E.length;
		MinHeap edges = new MinHeap(n * (n - 1) / 2);
		int[] setNum = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			setNum[i] = i; // 初始时，每个顶点是一个子集合
		}
		// 初始化最小堆
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = i + 1; j < n; j++) {
				if (isReachable(E, i, j)) {
					edges.add(new Edge(i, j, E[i][j]));
				}
			}
		}
		Edge edge;
		int count = n, v1, v2, num;
		while ((count > 1) && (edge = edges.removeMin()) != null) {
			v1 = edge.v1;
			v2 = edge.v2;
			if (setNum[v1] == setNum[v2]) continue; // 两个顶点在同一个子集合里
			count--; // 融合两个子集合，减少了一个子集合
			num = setNum[v2];
			for (int i = 0; i < n; i++) {
				if (setNum[i] == num) {
					setNum[i] = setNum[v1]; // 把两个子集合融合到一个
				}
			}
			System.out.println((v1+1) + "~" + (v2+1) + " : " + edge.len);
		}
	}

	private static boolean isReachable(int[][] E, int v1, int v2) {
		return E[v1][v2] != NOT_REACHED;
	}

	public static void main(String[] args) {
		int[][] E = { { -1, 6, 1, 5, -1, -1 }, { 6, -1, 5, -1, 3, -1 },
				{ 1, 5, -1, 5, 6, 4 }, { 5, -1, 5, -1, -1, 2 },
				{ -1, 3, 6, -1, -1, 6 }, { -1, -1, 4, 2, 6, -1 } };

		kruskal(E);
	}
}

class Edge implements Comparable {

	public int v1, v2, len;

	public Edge(int v1, int v2, int len) {
		this.v1 = v1;
		this.v2 = v2;
		this.len = len;
	}

	@Override
	public int compareTo(Edge o) {
		return len - o.len;
	}

	@Override
	public String toString() {
		return len + "";
	}
}

输出为：

1~3 : 1
4~6 : 2
2~5 : 3
3~6 : 4
2~3 : 5

此实现借助了最小堆，来实现每次选取权值最小的边。

最小堆的代码实现：

/**
 *             0
 *            / \
 *           1   2
 *          / \
 *         3  4
 * @author xuefeng
 *
 */
public class MinHeap {
	private Object[] data;

	private int size;

	public MinHeap(int capacity) {
		data = new Object[capacity];
		size = 0;

	}

	public boolean add(T val) {
		if (size >= data.length)
			return false;
		int i = size, p;
		data[size] = val;
		size++;

		while (i > 0) {
			p = parentIndex(i);
			if (get(i).compareTo(get(p)) < 0) {
				swap(data, i, p);
			} else {
				break;
			}
			i = p;
		}

		return true;
	}

	public T remove(int index) {
		if (index >= size)
			return null;
		int i = index, left, right, p;
		T val = (T) data[index];
		data[index] = data[size - 1];
		size--;
		while (!isLeaf(i)) {
			left = leftIndex(i);
			right = rightIndex(i);
			p = i;
			i = right >= size || get(left).compareTo(get(right)) < 0 ? left
					: right;
			if (get(i).compareTo(get(p)) < 0) {
				swap(data, i, p);
			}
		}

		return val;
	}
	
	public T removeMin() {
		return remove(0);
	}

	public T get(int index) {
		if (index >= size)
			throw new IllegalArgumentException("index is greater than size : "
					+ index);
		return (T) data[index];
	}

	private static int leftIndex(int index) {
		return 2 * index + 1;
	}

	private static int rightIndex(int index) {
		return 2 * index + 2;
	}

	private static int parentIndex(int i) {
		return i % 2 == 0 ? i / 2 - 1 : i / 2;
	}

	private boolean isLeaf(int index) {
		return leftIndex(index) >= size;
	}

	private void swap(Object[] data, int i1, int i2) {
		Object temp = data[i1];
		data[i1] = data[i2];
		data[i2] = temp;
	}
}