漫步数学分析十四——连通集

定义3 集合 A⊂Rn 为连通集，如果不存在两个非空开集 U,V ，使得 A⊂U∪V,A∩U≠∅,A∩V≠∅,A∩U∩V=∅ 。

直观上，集合 U,V 将 A 分成了两部分，并且如果的确如此，那么我们就说 A 不是连集(图 ??? )。

图1

图 ??? 中的集合就是连集当不是路径连通；因此这两个概念是不同的。然而，这两个想法之间有一个有效的联系，如下面的定理所陈述的。

定理3 如果集合 A 是路径连通的，那么 A 是连通的。

这个定理可能是判断连集最容易的方法，而且这个定理非常直观。

如果集合 A 不是连集(自然就不是路径连通)，我们可以将它分成几份，准确地来说，集合 A 的元素(component)是连通子集 A0⊂A ，使得除了 A0 以外， A 中不存在其他包含 A0 的连集。如图1所示，因此我们可以看出一个元素就是最大的连子集。我们可以用路径连通而不是连通并用相同的方式来定义路径连通。

例1： Z={…,−2,−1,0,1,2,3,…}⊂R 是连集吗？

解： 不是。因为如果 U=(1/2,∞),V=(−∞,1/4) ，那么 Z⊂U∪V,Z∩U={1,2,3,…}≠∅,Z∩V={…,−2,−1,0}≠∅,Z∩U∩V∅ ，因此 Z 不是连集，很明显 Z 也不是路径连通，但是通关观察可以看出路径不连通不能得出 Z 不是连通的。

图2

例2： {(x,y)∈R2|0<x2+y2≤1} 是连集吗？

解： 从上篇文章例1d可知，这个集合是路径连通的，因此由定理3可知它是连通的。直接证明比较复杂，这里不再给出。