【学习笔记】树和图上的博弈

树和图上的博弈

一、树上删边博弈

• 问题引入：

  给定多棵 \(n\) 个节点的有根树（可以想象把这些树的根节点排成一排种在地平线上）。

  两个人轮流在任意一棵树上删去一条边，删边后，不与根节点相邻的部分也将被移除。

  谁无法继续删边谁输。

  问：先手必胜还是必败 ？

  由于在该博弈中，双方都可以删任意的边，因此，它被称为树上公平删边游戏（Green Hachenbush）。

  这要与另一种不公平树上删边游戏做区分，感兴趣的读者可自行查阅。

• 问题分析：

  如果我们直接分析问题，就会发现删边情况复杂，不好处理。

  这时不妨先考虑一种简单的情况，即所有的树都为链，我们也可把它们形象地称之为竹子。
  

  容易发现，每轮删边相当于在任意一棵竹子上移除若干条边，其本质就是一个 Nim 游戏，因此满足 SG (x) = x。

  计算每棵竹子边数的 Nim 和即可求出结果。

  Nim 和即异或和

  接着，为了处理树的情况，我们需要引入 Colon Principle （证明附后）。

  Colon Principle：对于树上某一个点，它的分支可以转换为以这个点为根的一根竹子，这个竹子的长度等于它各个分支的边的数量的异或和。

  拿树来解释，如图：

  

  如第一棵树，它的根节点有 3 个子节点，长度分别为 1， 1， 2，所以异或起来的结果就为 2 ，我们就可把第一棵树转换为长度为2的竹子。

  后两棵树同理，他们分别可以转换为长度为 3 和长度为 1 的竹子。

  这三棵竹子与它们对应的三棵树是等价的。

  根据 SG 定理，把这三棵树转化成的竹子的 SG 函数值异或起来：SG(2) xor SG(3) xor SG(1) = 2 xor 3 xor 1 = 0 。

  所以结果就是先手必败。

二、图上删边博弈

• 问题引入：

  未完待续...