功率信号，能量信号，信号的频谱，功率谱密度，频谱密度，能量谱密度，自相关函数，互相关函数

总述

一、区分信号类型

根据式$E={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}^2\left(t\right)dt$计算信号能量（作用在单位电阻上的电压信号 释放的能量）可以将信号分为：

• 功率信号：能量无限，不能用能量表示，所以用平均功率表示；
• 能量信号：能量有限，平均功率为0；

二、功率信号的分析

1. 频谱（离散）：$C\left(n{f}_0\right)=\frac{1}{T_0}{\int }_{-T/2}^{T/2}s\left(t\right)e^{-j2\pi n{f}_{0}t}dt$（单位：V）
   含义：
   周期功率信号幅值（频率为$f_0$ ）经过傅里叶级数展开，被多个离散倍频$n{f}_0$表征，各频点的幅值$C\left(n{f}_0\right)$也即该频点的贡献权系数。
   参考网上一张经典的解释图：
   
2. 功率谱密度（连续）：$P\left(f\right)={\sum \left|C\left(f\right)\right|}^2\delta \left(f-n{f}_0\right),C\left(f\right)=\{\begin{array}{c}C\left(n{f}_0\right),f=n{f}_0\\ 0,\end{array}$
   含义：

• 将信号的功率按照频点贡献铺在频谱之上；
• 因其能量是无穷的，所以不能把能量铺上去，只能用有限的功率；
• 对功率谱密度进行积分，能得到局部频段承载的功率；
• 相比功率信号的频谱突出各频点对功率信号的信号幅值的贡献，功率谱密度突出各频点对功率信号的功率的贡献。

三、能量信号的分析

1. 频谱密度（连续）：$S\left(f\right)={\int }_{-\infty }^{\infty }s\left(t\right)e^{-j2\pi ft}dt$（单位：V/Hz）
   含义：

• 通过傅里叶变换将能量信号转换到连续频域上；
• 但因能量有限，不能使用离散贡献频点权系数（几乎为0），只能使用频谱密度来表征。

2. 能量谱密度：$G\left(f\right)={\left|S\left(f\right)\right|}^2$（单位：J/Hz）
   含义：

• 将信号能量铺在频谱之上；
• 对能量谱密度进行局部积分，能得到局部频段承载的能量；
• 相比能量信号的频谱密度突出连续频点对功率信号的信号幅值的贡献，能量谱密度突出连续频点对能量信号的能量的贡献。

四、相关函数

1. 自相关函数 ：$R\left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }s\left(t\right)s\left(t+\tau \right)dt$
   含义：表征信号自己与自己的相似关系，根据公式也能看出，原信号不变，拿着一个复制信号先进行时移再乘积积分（卷积操作），就是在求信号内时间维的相似性，$\tau =0$ 时肯定最相似，周期信号肯定有很多相似点（自相关函数峰值）。
   特点：
   
2. 互相关函数：$R_{1,2}\left(\tau \right)={\int }_{-\infty }^{\infty }{s}_1\left(t\right)s_2\left(t+\tau \right)dt$
   含义：表征两信号的相似关系
   特点也同上表

注：上文具体公式推导见樊昌信的《通信原理》第六版P17-33