数据安全与隐私保护——AES，DES，RSA（基于大整数素因子分解问题）

前言: 传统的对称加密非常容易破解，但目前对称加密还是非常安全的，主流是AES。非对称加密的主流是RSA,MD5。

RSA
虽稍后于MH背包公钥系统，但它是到目前为止应用最广的一
种公钥密码。RSA的理论基础是数论的欧拉定理，它的安全
性依赖于大整数的素因子分解的困难性。
RSA可用于加密，签名等。

但近代提出的量子计算机可能会打破这一稳定的格局~

本文重点阐述 非对称算法RSA的实现~

DES：Data Encrytion Standard（数据加密标准），对应算法是DEA

1. 对称加密
2. 同一个SK

AES：Advanced Encrytion Standard（高级加密标准）

1. 对称加密
2. 一个SK扩展成多个子SK，轮加密

RSA：RSA加密算法是一种非对称加密算法。在公开密钥加密和电子商业中RSA被广泛使用：

1. 非对称加密，即：PK与SK不是同一个

2. PK用于加密，SK用于解密

3. PK决定SK，但是PK很难算出SK（数学原理：两个大质数相乘，积很难因式分解）

4. 速度慢，只对少量数据加密

公匙密码算法思想

常用算法

RSA公钥密码的简介

数论核心:

欧拉函数

大整数素因子分解

提前了解~

在数论，对正整数n，欧拉函数是小于或等于n的正整数中与n互质的数的数目（因此φ(1)=1）

欧拉函数计算通式：

个人理解：其实并不是很难理解，我们可以用概率论来讨论，给定一个数字x，我们给它拆成了几个质数p1,p2,p3…,pn相乘，每个质数的倍数，当然不是质数，每个质数的倍数出来的概率就是1/pi，1-1/pi就得到了满足该个pi的概率，连乘后就得到了同时满足所有这种情况的概率，因此得到欧拉数了~
原始的欧拉函数公式也可以用我这个思想去推导，例如把24拆开拆成2^3*3,然后分别乘于概率就可以推导原公式了，千万不要死记硬背。


欧拉定理：
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:

举个例子：
首先看一个基本的例子。令a = 3，n = 5，这两个数是互素的。比5小的正整数中与5互素的数有1、2、3和4，所以φ(5)=4。计算:a^{φ(n)} = 3^4 =81，而81= 80 + 1 Ξ 1 （mod 5）。与定理结果相符。
这个定理可以用来简化幂的模运算。比如计算7^ 222 的个位数，实际是求7^ 222被10除的余数。7和10[[互素]]，且φ(10)=4。由欧拉定理知7^ 4Ξ1(mod 10)。所以7^ 222=(7^ 4)^ 55*(7^ 2)Ξ1^ 55*7^2Ξ49Ξ9 (mod 10)。

RSA的密钥对 生成算法

对于重点进行解释
第三和第四点
这里取e非常有讲究，e得和n的欧拉数互质，不然如果e>=n的欧拉数,在加密中，mod后就为1了，如果e

加解密过程

画个简单的例子：

推导过程：

还有在大数的n次方求解问题中，很容易出现溢出情况，可以采用指数快速幂的方法。
加密时首先将明文比特串分组，使得每个分组对应的十进制数小于n，即分组长度小于log2n。

推导当m与n互素的情况

推导当m与n不互素的情况

实战应用

：

同态性普及

1.RSA 算法对于乘法操作是同态的。
2.Paillier 算法则是对加法同态的。
3.Gentry算法则是全同态的。

同态性可用于机器学习的隐私保护，则不用知道原始数据，通过处理后的数据就可以得到我们想要的结果，实现两个同态中的一个已经非常难得了，全同态是超级厉害的。
全同态加密属于密码学领域。由于全同态加密支持无需解密，就能够对密文进行任意计算，因此可以立竿见影的解决数据隐私安全问题，有很大的应用需求。