欧拉角、四元数、旋转矩阵的互相转换

概述

方法来自于《3D数学基础，图形与游戏开发》这本书。
学习这些转换可以加深自己对这些知识点的理解~两两转换一共有六种情况，下面就依次列举一下这六种情况。

1.从欧拉角转换到矩阵

这种情况的转换不难，还记得我们的旋转矩阵长啥样吗，欧拉角的三个值就是坐标系绕着特定轴旋转的值，注意是坐标系旋转哦，点的旋转值是和坐标系的旋转值相反的，需要把旋转矩阵的角度取反。
比如下面就是绕y轴的旋转矩阵，角度h取反了，
$$\left[\begin{array}{ccc}cos(-h)& 0& -sin(-h)\\ 0& 1& 0\\ sin(-h)& 0& cos(-h)\end{array}\right]$$
我们根据特定的顺序把三个旋转矩阵乘起来就行了，很简单的。
书上是先绕y轴旋转再绕x轴旋转，再绕z轴旋转，得到的结果为：
$$\left[\begin{array}{ccc}coshcosb+sinhsinpsinb& -coshsinb+sinhsinpcosb& sinhcosp\\ sinbcosp& cosbcosp& -sinp\\ -sinhcosb+coshsinpsinb& sinbsinh+coshsinpcosb& coshcosp\end{array}\right]$$
这个旋转矩阵是从惯性坐标系旋转到物体坐标系的旋转矩阵。h为绕y轴的旋转角度，p为绕x轴的旋转角度，b为绕z轴的旋转角度。

2.从旋转矩阵到欧拉角

当我们知道了从欧拉角到旋转矩阵的矩阵形式，倒推是一件非常简单的事情,假设上面的矩阵为M，则M23 = -sinp，我们能直接得到绕x轴的旋转角度p，然后把M21/M22能直接得到tanb，所以也能得到绕z的旋转角度b，把M13/M33也能直接得到tanh，然后就能得到角度h，于是这一切问题都解决了，是不是很容易。

3.从四元数转换到旋转矩阵

$$\left[\begin{array}{ccc}{n}_x^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_x{n}_y(1-cos\theta )+n_{z}sin\theta & n_x{n}_z(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta \\ n_x{n}_y(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta & n_y^2(1-cos\theta )+cos\theta & n_y{n}_z(1-cos\theta )+n_{x}si{n}_{\theta }\\ n_x{n}_z(1-cos\theta )+n_{y}sin\theta & n_y{n}_z(1-0cos\theta )-n_{x}sin\theta & n_x^2(1-cos\theta )+cos\theta \end{array}\right]$$

这个东西就是我们绕任意轴n旋转$\theta$的旋转矩阵，具体的推导我有单独介绍过。
然后我们想一下四元数的概念，其四个分量分别是
$$w=cos(\theta /2)$$
$$x=n_{x}sin(\theta /2)$$
$$y=n_{y}sin(\theta /2)$$
$$z=n_{z}sin(\theta /2)$$
我们所需要做的事情，仅仅是把上面的矩阵用x,y,z,w替换一下就行了，利用倍角公式
$$cos2\alpha =1-si{n}^2\alpha$$
可以做到这一点，具体的计算过程我不写了，写起来一大串，知道方法即可。
最后得到的结果如下所示：
$$\left[\begin{array}{ccc}1-2y^2-2z^2& 2xy+2wz& 2xz-2wy\\ 2xy-2wz& 1-2x^2-2z^2& 2yz+2wx\\ 2xz+2wy& 2yz-2wx& 1-2x^2-2y^2\end{array}\right]$$

4.从旋转矩阵到四元数

同旋转矩阵到欧拉角一样，我们需要从矩阵本身来逆推一下，计算原理本身不难，我们设旋转矩阵为M，则有
$$M11+M22+M33=4w^2-1$$
$$M11-M22-M33=4x^2-1$$
$$-M11+M22-M33=4y^2-1$$
$$-M11-M22+M33=4z^2-1$$
这样xyzw我们都可以计算出来，但是我们可以同时得到xyzw互为相反的两个跟，而且我们没有判断根是否正确的依据，因对对于四元数来说，所有元素取反得到的结果是一样的，因为相当于$\theta$加上了一个360°，我们对矩阵进行处理，得到另一种方法：
M12+M21 = 4xy
M12-M21 = 4wz
M31+M13 = 4xz
M31- M13 = 4wy
M23 + M32 = 4yz
M23 - M32 = 4wx
这种积的运算可以保留符号信息，所以我们只需要根据上面的式子计算出任意一个变量，然后通过下面的式子就可以得到所有的值，那么选择先计算哪一个变量呢，书中建议是计算出xyzw的平方值,然后选一个最大的来通过下面的式子来计算出其余的量。

5.从欧拉角到四元数

这个得要从四元数的定义下手，绕着n轴旋转$\theta$的四元数如下：
$$q=[cos(\theta /2)((sin(\theta /2)n_x)(sin(\theta /2)n_y)(sin(\theta /2)n_z))$$
那么我们很容易就能把欧拉角的三个旋转转化为四元数，记住旋转角度要取反，因为欧拉角是坐标轴的旋转，点的旋转和坐标轴的旋转是相反的。
绕y轴
$$h=[cos(-h/2)(0sin(-h/2)0)]$$
绕x轴
$$p=[cos(-p/2)(sin(-p/2)00)]$$
绕z轴
$$b=[cos(-b/2)(00sin(-b/2))]$$

根据四元组的乘法公式
$$\left[\begin{array}{c}w1\\ \left[\begin{array}{c}{x}_1\\ y_1\\ z_1\end{array}\right]\end{array}\right]\ast \left[\begin{array}{c}w2\\ \left[\begin{array}{c}{x}_2\\ y_2\\ z_2\end{array}\right]\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{w}_1{w}_2{x}_1{x}_2-y_1{y}_2-z_1{z}_2\\ \left[\begin{array}{c}{w}_1{x}_2+x_1{w}_2+z_1{y}_2-y_1{z}_2\\ w_1{y}_2+y_1{w}_2+x_1{z}_2-z_1{x}_2\\ w_1{z}_2+z_1{w}_2+y_1{x}_2-x_1{y}_2\end{array}\right]\end{array}\right]$$
依次把三个四元组相乘，就能得到最后的结果了，结果为：
$$hqb=\left[\begin{array}{c}cos(h/2)cos(p/2)cos(b/2)+sin(h/2)sin(p/2)sin(b/2)\\ \left[\begin{array}{c}cos(h/2)sin(p/2)cos(b/2)+sin(h/2)cos(p/2)sin(b/2)\\ sin(h/2)cos(p/2)cos(b/2)-cos(h/2)sin(p/2)sin(b/2)\\ cos(h/2)cos(p/2)sin(b/2)-sin(h/2)sin(p/2)cos(b/2)\end{array}\right]\end{array}\right]$$

6.从四元数到欧拉角

这个变换我们可以利用旋转矩阵作为中间变量，我们知道旋转矩阵如何表示欧拉角，
p = arcsin(-m23)
h = arctan(m13/m33) cosp!=0
h = arctan(-m31/m11)cosp=0
b = arctan(m13/m33) cosp!=0
b = 0 cosp=0
然而这里涉及到的矩阵的所有的值都可以用四元数表示出来，参考从四元数到旋转矩阵的公式，然后只需要代入到上面的公式就行了，结果如下所示：
p = arcsin(-2(yz+wx))
h = arctan(xz-wy/(1/2-x^2-y2)) cosp!=0
h = arctan(-xz-wy/(1/2-y^2-z2)) cosp=0
b = arctan(xy-wz/(1/2-x^2-z2)) cosp!=0
b=0 cosp = 0