矩阵的几何意义

矩阵的几何意义：变换

是指把一些数据如点，方向矢量颜色等通过某些方式转换的过程，下面来给大家介绍一下各种变换矩阵，和概念。

线性变换
f(x)+f(y)=f(x+y)
kf(x)=f(kx)
上面的例子有点抽象，如缩放就是一种线性变换，如f(x)=2x可以表示一个大小为2的统一缩放，即经过矢量x的模是原来的两倍。同样旋转也是一种线性变换。还包括错切、镜像、正交投影等…

仅有线性变换不够的。我们来考虑平移变换例如f(x)=x+(1,2,3)。这不是一个线性变换，它即不满足标量乘法，也不满足矢量加法。如果我们令x=(1,1,1)那么：
f(x)+f(x)=(4,6,8)
f(x+x)=(3,4,5)
可见结果是不一样的，所以就了限仿射变换。仿射变换就是合并线性变换和平移变换的变换类型。仿射变换可以使用一个4X4的矩阵来表示，为此我们需要到四维空间下，这就是齐次坐标空间。

变换名称	是线性变换吗	是仿射变换吗	是可逆矩阵吗	是正交矩阵吗
平移矩阵	N	Y	Y	N
绕坐标轴旋转矩阵	Y	Y	Y	Y
绕任意轴旋转的矩阵	Y	Y	Y	Y
绕坐标轴缩放的矩阵	Y	Y	Y	N
错切矩阵	Y	Y	Y	N
镜像矩阵	Y	Y	Y	Y
正交投影矩阵	Y	Y	N	N
透视投影矩阵	N	N	N	N

齐次坐标

我们把3X3的矩阵扩展到了4X4的矩阵(多一维为了可以列表平移)，这就是我们说的齐次坐标。

分解基础矩阵

已知道一个4X4的矩阵来表示平移、旋转、缩放。我们表示把纯平移、旋转、缩放的矩阵叫作基础变换矩阵，我们可以把一个基础变换矩阵分解为下面四个部分：

其实左上角M3X3用于表示旋转和缩放，t3X1表示平移，01X3是零矩阵即[0,0,0]。

平移矩阵：

需要注意的是：
当第四个分量为1时能得到正确的结果：

当第四个分量为0时，还是原来的结果：

平移矩阵的逆矩阵：

缩放矩阵

沿空间的X轴，Y轴，Z轴进行缩放。同样我们可以适用矩阵乘法来表示一个缩放变换：

旋转矩阵

复合矩阵

变换的结果是依赖于变换顺序的，由于矩阵乘法不满足交换律，因此矩阵的顺序很重要。
比方在大多数情况下，我们就是先缩放，再旋转，最后平移（注意矩阵是从右住左乘的）：

要注意的是，这两都是不相等的：

同时也要考虑是否连坐标系一同旋转。