前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)

前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)

介绍

前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值 ,即数学表达式的求职

中缀表达式

简介

中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6

前缀表达式

简介

前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前

比如:- × + 3 4 5 6

前缀表达式的计算机求值

从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果

• 例如:- × + 3 4 5 6

1. 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
2. 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
3. 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
4. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果

将中缀表达式转换为前缀表达式

转换步骤如下:

1. 初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
2. 从右至左扫描中缀表达式
3. 遇到操作数时，将其压入s2
4. 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
   1. 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
   2. 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
   3. 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
5. 遇到括号时
   1. 如果是右括号“)”，则直接压入s1
   2. 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
6. 重复步骤2至5，直到表达式的最左边
7. 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
8. 依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式

例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表

扫描到的元素	S2(栈底->栈顶)	S1 (栈底->栈顶)	说明
5	5	空	数字，直接入栈
-	5	-	s1为空，运算符直接入栈
)	5	-)	右括号直接入栈
4	5 4	-)	数字直接入栈
x	5 4	-)x	s1栈顶是右括号，直接入栈
)	5 4	-)x)	右括号直接入栈
3	5 4 3	-)x)	数字
+	5 4 3	-)x)+	s1栈顶是右括号，直接入栈
2	5 4 3 2	-)x)+	数字
(	5 4 3 2 +	-)x	左括号，弹出运算符直至遇到右括号
(	5 4 3 2 + x	-	同上
+	5 4 3 2 + x	-+	优先级与-相同，入栈
1	5 4 3 2 + x 1	-+	数字
到达最左端	5 4 3 2 + x 1 + -	空	s1剩余运算符

结果是:- + 1 × + 2 3 4 5

后缀表达式

简介

后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后

比如:3 4 + 5 × 6 -

后缀表达式计算机求值

与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：

从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果

例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：

1. 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
2. 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
3. 将5入栈；
4. 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
5. 将6入栈；
6. 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。

将中缀表达式转换为后缀表达式

与转换为前缀表达式相似，步骤如下：

1. 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
2. 从左至右扫描中缀表达式；
3. 遇到操作数时，将其压s2；
4. 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
   1. 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
   2. 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
   3. 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
5. 遇到括号时：
   1. 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
   2. 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
6. 重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
7. 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
8. 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）

例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：

扫描到的元素	s2(栈底->栈顶)	s1 (栈底->栈顶)	说明
1	1	空	数字，直接入栈
+	1	+	s1为空，运算符直接入栈
(	1	+ (	左括号，直接入栈
(	1	+ ( (	同上
2	1 2	+ ( (	数字
+	1 2	+ ( ( +	s1栈顶为左括号，运算符直接入栈
3	1 2 3	+ ( ( +	数字
)	1 2 3 +	+ (	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
×	1 2 3 +	+ ( ×	s1栈顶为左括号，运算符直接入栈
4	1 2 3 + 4	+ ( ×	数字
)	1 2 3 + 4 ×	+	右括号，弹出运算符直至遇到左括号
-	1 2 3 + 4 × +	-	-与+优先级相同，因此弹出+，再压入-
5	1 2 3 + 4 × + 5	-	数字
到达最右端	1 2 3 + 4 × + 5 -	空	s1中剩余的运算符

因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”

代码实现

public class Operation {
    private static int ADDITION=1;
    private static int SUBTRACTION=1;
    private static int MULTIPLICATION=2;
    private static int DIVISION=2;

    public static int getValue(String operation){
        int result;
        switch (operation){
            case "+":
                result=ADDITION;
                break;
            case "-":
                result=SUBTRACTION;
                break;
            case "*":
                result=MULTIPLICATION;
                break;
            case "/":
                result=DIVISION;
                break;
            default:
//                System.out.println("不存在该运算符");
                result=0;
        }
        return result;
    }
}



public class PolishNotation {

    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc=new Scanner(System.in);
        System.out.println("请输入运算表达式:");
        String expressionStr=sc.nextLine();
//        System.out.println(expressionStr);
        List<String> zx= toInfixExpression(expressionStr);
        List<String> rpn=parseSuffixExpression(zx);
        String rpnStr="";
        for(String str:rpn){
            rpnStr+=str;
        }
        System.out.println(rpnStr);

        System.out.println("计算结果:"+ calculate(rpn));
    }

    /**
     * 把字符串转换成中序表达式
     * @param s
     * @return
     */
    public static List<String> toInfixExpression(String s) {
        List<String> ls = new ArrayList<String>();//存储中序表达式
        int i = 0;
        String str;
        char c;
        do {
            if ((c = s.charAt(i)) < 48 || (c = s.charAt(i)) > 57) {
                ls.add("" + c);
                i++;
            } else {
                str = "";
                while (i < s.length() && (c = s.charAt(i)) >= 48
                        && (c = s.charAt(i)) <= 57) {
                    str += c;
                    i++;
                }
                ls.add(str);
            }

        } while (i < s.length());
        return ls;
    }

    /**
     * 转换成逆波兰表达式
     * @param ls
     * @return
     */
    public static List<String> parseSuffixExpression(List<String> ls) {
        Stack<String> s1=new Stack<String>();
        Stack<String> s2=new Stack<String>();
        List<String> lss = new ArrayList<String>();
        for (String ss : ls) {
            if (ss.matches("\\d+")) {
                lss.add(ss);
            } else if (ss.equals("(")) {
                s1.push(ss);
            } else if (ss.equals(")")) {

                while (!s1.peek().equals("(")) {
                    lss.add(s1.pop());
                }
                s1.pop();
            } else {
                while (s1.size() != 0 && Operation.getValue(s1.peek()) >= Operation.getValue(ss)) {
                    lss.add(s1.pop());
                }
                s1.push(ss);
            }
        }
        while (s1.size() != 0) {
            lss.add(s1.pop());
        }
        return lss;
    }

    /**
     * 通过逆波兰表达式计算结果
     * @param ls
     * @return
     */
    public static int calculate(List<String> ls) {
        Stack<String> s=new Stack<String>();
        for (String str : ls) {
            if (str.matches("\\d+")) {
                s.push(str);
            } else {
                int b = Integer.parseInt(s.pop());
                int a = Integer.parseInt(s.pop());
                int result=0;
                if (str.equals("+")) {
                    result = a + b;
                } else if (str.equals("-")) {
                    result = a - b;
                } else if (str.equals("*")) {
                    result = a * b;
                } else if (str.equals("\\")) {
                    result = a / b;
                }
                s.push("" + result);
            }
        }
        System.out.println(s.peek());
        return Integer.parseInt(s.pop());
    }
}