蓝桥杯 垒骰子（矩阵快速幂）

垒骰子


赌圣atm晚年迷恋上了垒骰子，就是把骰子一个垒在另一个上边，不能歪歪扭扭，要垒成方柱体。
经过长期观察，atm 发现了稳定骰子的奥秘：有些数字的面贴着会互相排斥！
我们先来规范一下骰子：1 的对面是 4，2 的对面是 5，3 的对面是 6。
假设有 m 组互斥现象，每组中的那两个数字的面紧贴在一起，骰子就不能稳定的垒起来。 
atm想计算一下有多少种不同的可能的垒骰子方式。
两种垒骰子方式相同，当且仅当这两种方式中对应高度的骰子的对应数字的朝向都相同。
由于方案数可能过多，请输出模 10^9 + 7 的结果。


不要小看了 atm 的骰子数量哦～


「输入格式」
第一行两个整数 n m
n表示骰子数目
接下来 m 行，每行两个整数 a b ，表示 a 和 b 数字不能紧贴在一起。


「输出格式」
一行一个数，表示答案模 10^9 + 7 的结果。


「样例输入」
2 1
1 2


「样例输出」
544


「数据范围」
对于 30% 的数据：n <= 5
对于 60% 的数据：n <= 100

对于 100% 的数据：0 < n <= 10^9, m <= 36

分析：

考虑最低一层，每个面都可以朝上，此时每个面朝上的情况都是1。考虑第二层的时候，我们假设面1 和面2不能互相接触，也就是说，前一层面1朝上和当前层面5朝上的情况不能发生，同理，前一层面2朝上跟当前层面4朝上的情况也不能发生。我们用一个数组来记录这种情况。我们可以发现，每一层的数目都只与前一层的数目有关。用dp就可以解决这个题目，但还不够快，我们可以用线性代数的知识，利用矩阵快速幂进行优化。

6乘6的转移矩阵a[i][j]，a[i][j]=1表示当前层以i为顶面跟前一层以j为顶面不冲突，反之则冲突。1乘6基础矩阵的b[i]表示以i为顶面的情况数

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
struct matrix
{
    int n, m;
    ll a[7][7];
};
int fro[7] = {0, 4, 5, 6, 1, 2, 3};
matrix matrix_mul(matrix A, matrix B, int mod)
{
    matrix C;
    C.n = A.n;
    C.m = B.m;
    for(int i = 1; i <= A.n; i++)
        for(int j = 1; j <= B.m; j++)
        {
            C.a[i][j] = 0;
            for(int k = 1; k <= A.m; k++)
            {
                C.a[i][j] += (A.a[i][j]*B.a[k][j] % mod);
            }
        }
    return C;
}
matrix unit()
{
    matrix res;
    res.n = 6;
    res.m = 6;
    for(int i = 1; i <= res.n; i++)
        for(int j = 1; j <= res.m; j++)
            if(i == j)
                res.a[i][j] = 1;
            else
                res.a[i][j] = 0;
    return res;
}
matrix matrix_pow(matrix A, int n, int mod)
{
    matrix res = unit(), temp = A;
    for(; n; n /= 2)
    {
        if(n&1)
            res = matrix_mul(res, temp, mod);
        temp = matrix_mul(temp, temp, mod);
    }
    return res;
}
ll pow_mod(ll a, int n, int mod)
{
    ll res = 1, temp = a;
    for(; n; n/=2)
    {
        if(n&1)
            res = res*temp%mod;
        temp = temp*temp%mod;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int m, u, v;
    ll ans = 0, n;
    scanf("%lld%d", &n, &m);
    matrix col;
    col.n = 6;
    col.m = 6;
    for(int i = 0; i < 7; i++)
        for(int j = 0; j < 7; j++)
            col.a[i][j] = 1;
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d", &u, &v);
        col.a[fro[u]][v] = 0;
        col.a[fro[v]][u] = 0;
    }
    matrix res, base;
    for(int i = 1; i <= 6; i++)
        base.a[1][i] = 1;
    base.n = 1;
    base.m = 6;
    int MOD = 1e9+7;
    res = matrix_pow(col, n-1, MOD);
    res = matrix_mul(base, res, MOD);
    for(int i = 1; i <= 6; i++)
        ans = (ans + res.a[1][i]) % MOD;
    ans = ans * pow_mod(4, n, MOD) % MOD;
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}