HDU-2108-Shape of HDU(Java+向量叉乘的简单应用)

Shape of HDU

Time Limit: 3000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 5575    Accepted Submission(s): 2531

Problem Description

话说上回讲到海东集团推选老总的事情，最终的结果是XHD以微弱优势当选，从此以后，“徐队”的称呼逐渐被“徐总”所取代，海东集团（HDU）也算是名副其实了。
创业是需要地盘的，HDU向钱江肉丝高新技术开发区申请一块用地，很快得到了批复，据说这是因为他们公司研发的“海东牌”老鼠药科技含量很高，预期将占全球一半以上的市场。政府划拨的这块用地是一个多边形，为了描述它，我们用逆时针方向的顶点序列来表示，我们很想了解这块地的基本情况，现在请你编程判断HDU的用地是凸多边形还是凹多边形呢？

 

Input

输入包含多组测试数据，每组数据占2行，首先一行是一个整数n，表示多边形顶点的个数，然后一行是2×n个整数，表示逆时针顺序的n个顶点的坐标（xi,yi），n为0的时候结束输入。

 

Output

对于每个测试实例，如果地块的形状为凸多边形，请输出“convex”,否则输出”concave”，每个实例的输出占一行。

 

Sample Input

4 0 0 1 0 1 1 0 1 0

 

Sample Output

convex 海东集团终于顺利成立了！后面的路，他们会顺顺利利吗？ 欲知后事如何，且听下回分解——

 

Author

lcy

 

Source

ACM程序设计_期末考试（时间已定！！）

 

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遇到这种题，要一步一步思考来，切忌操之过急！

首先我们要明确凸多边形的定义是:所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其他各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。

这时如果按照一般的数学思路来想，我第一个想到的思路是，任选多边形两顶点，写出这两点的直线方程，在将除那两点之外的所有点都带进未知数x，y进行计算，看所有结果是否同号(正负号)，如果同号则其他顶点都在该直线的同侧，为凸多边形，如果异号则为凹多边形.

这个思路没有错，但是实现起来太繁琐了，感兴趣的童鞋可以自己试试！但是我们也可以想想有没有更加好的方法呢？

解题思路: 叉乘的运用

原理是在平面上去(0,0)来分割多边形为多个三角形，然后用叉乘来求三角形的面积(有向)再求和。这样的话可以把凸N多边形转化为N-2个三角形，然后求解N个三角形即可，输入定点的顺序，无论逆时针还是顺时针都行！

/*
 * 向量点积:两个向量的点积为标量,A向量*B向量=A*B*cosa;
 * 向量叉积:两个向量的叉积是向量，它们的绝对值相当于两个向量构成平行四边形的面积,A向量*B向量=A*B*sina;
 * 相当于三角形的2倍，然后我们可以利用三角形的面积的正负来判断是否是凸边形.因为如果是凹边形,a>90度小于180度,
 * sina<0,得出的结果一定为负数!
 */

import java.awt.Point;
import java.io.*;
import java.util.*;

public class Main
{
	public static class Spot
	{
		int x, y;
	}

	public static int CrossProduct(int x1, int x2, int y1, int y2)
	{
		return x1 * y2 - x2 * y1;
	}

	public static void main(String[] args)
	{
		// TODO Auto-generated method stub
		Scanner input = new Scanner(System.in);
		while (input.hasNext())
		{
			int n = input.nextInt();
			int ans = 0;
			if (n == 0)
				break;
			Spot a[] = new Spot[n + 2];
			for (int i = 0; i < n; i++)
			{
				a[i] = new Spot();
				a[i].x = input.nextInt();
				a[i].y = input.nextInt();
			}
			a[n] = a[0];
			a[n + 1] = a[1];
			for (int i = 2; i <= n + 1; i++)
			{
				int x1 = a[i - 1].x - a[i - 2].x;
				int y1 = a[i - 1].y - a[i - 2].y;
				int x2 = a[i].x - a[i - 1].x;
				int y2 = a[i].y - a[i - 1].y;
				ans = CrossProduct(x1, x2, y1, y2);
				if (ans < 0)
					break;
			}
			if (ans < 0)
				System.out.println("concave");
			else
			{
				System.out.println("convex");
			}
		}
	}

}