exkmp解读

题解 P5410 【【模板】扩展 KMP】

posted on 2019-05-20 13:51:22 | under 题解 | 55

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一、引言

一个算是冷门的算法（在竞赛上），不过其算法思想值得深究。

二、前置知识

1. kmp 的算法思想，具体可以参考这篇日报。

2. trie 树（字典树）。

三、经典扩展 kmp 模板问题：

扩展 kmp 的模板问题：

给你两个字符串 s,t，长度分别为 n,m。

请输出 s 的每一个后缀与 t 的最长公共前缀。

哈希是不可能的，这辈子都不可能的。

$\mathcal{A}\mathcal{C}$ 自动机？好像更不可做了。

我们先定义一个： $extend[i]$ 表示 $S[i...n]$ 与 $T$ 的最长公共前缀长度，而题意就是让你求所有的 $extend[i]$ 。

注：以下字符串均从1开始计位。

例子：

如果 $S=aaaaaaaaaabaa$ ， $n=13$

$T=aaaaaaaaaaa$ ， $m=11$

由图可知， $extend[1]=10$ 、 $extend[2]=9$ 。

我们会发现：在求 $extend[2]$ 时，我们耗费了很多时间，但我们可以利用 $extend[1]$ 来更快速地求解：

因为已经计算出 $extend[1]=10$ 。

所以有： $S[1...10]=T[1...10]$

然后得： $S[2...10]=T[2...10]$

因为计算 $extend[2]$ 时，实际上是 $S[2...n]$ 和 $T$ 的匹配，

又因为刚刚求出了 $S[2...10]=T[2...10]$ ，

所以匹配的开头阶段是求 $T[2...10]$ 与 $T$ 的匹配。

这时我们可以设置辅助参数： $next$ ， $next[i]$ 表示 $T[i,m]$ 与 $T$ 的最长公共前缀长度。

那么对于上述的例子： $next[2]=10$

即： $T[2...11]=T[1...10]$

然后得： $T[2...10]=T[1...9]$

$\therefore S[2...10]=T[2...10]=T[1...9]$

也就是说求 $extend[2]$ 的匹配的前9位已经匹配成功了，不用再匹配一遍了，可以直接从 $S[11]$ 和 $T[10]$ 开始匹配，这样我们就省下了很多时间。

这其实就是 kmp 的思想。

对于一般情况：

设 $extend[1...k]$ 已经算好，并且在以前的匹配过程中在S串中的最远位置是 $p$ ，即 $p=max(i+extend[i]-1)$ ，其中 $i=1...k$ 。

然后我们设取到这个最大值 $p$ 的位置是 $p0$ 。

首先，根据定义， $S[p0...p]=T[1...p-p0+1]$ 。

我们设 $T[k-p0+1]$ 在 $T$ 串中对应的位置为 $a$ ， $T[k-p0+2]$ 在 $T$ 串中所对应的位置为 $b$ 。（仅仅是为了下面的讲解方便）

然后令 $L=next[b]$ 。

下面分两种情况讨论：

第一种情况： $k+L<p$

也就是 $S[k+L]$ 这个位置在 $p$ 前面，如图：

我们设 $l1=1$ ， $r1=L$ ， $l2=b$ ， $r2=b+L-1$ 。（ $b$ 的定义在上一张图）

此时 $l1$ 、 $r1$ 、 $l2$ 、 $r2$ 的位置如图所示。

由 $next$ 的定义，也就是说， $T[l1...r1]=T[l2...r2]$ 。

注：以下所写的“线”相等指的是长度和字符都相等

即 $\text{红线}$ 与 $\text{绿线}$ 与 $\text{蓝线}$ 相等。

然后由 $next$ 的定义可知， $T[r1+1]!=T[r2+1]$ 。

又因为 $T[r2+1]=S[k+L+1]$

所以 $T[r1+1]\ne S[k+L+1]$ ，这两个字符不一样。

又因为 $\text{红线}$ 与 $\text{蓝线}$ 相等，这两条线已经匹配成功。

所以 $extend[k+1]=L$ ，也就是 $next[b]$ 。

所以这段的代码比较简单：

if(i+nxt[i-p0]

第二种情况： $p⩽k+L$

也就是 $S[k+L]$ 这个位置在 p 后面，如图：

图可能略丑

同样，我们设 $l1=1$ ， $r1=L$ ， $l2=b$ ， $r2=b+L-1$ 。

此时 $l1$ 、 $r1$ 、 $l2$ 、 $r2$ 的位置如图所示。（ $r1$ 的位置可能在 $p-p0+1$ 前或后）

同理， $\text{红线}$ 与 $\text{绿线}$ 与 $\text{蓝线}$ 相等。

那么我们设 $(k+L)$ 到 $p$ 的这段距离为 $x$ 。

那么 $S[k+1...(k+L)-x+1]=S[k+1...p]$ 。

又因为：

$T[l1...r1-x+1]=T[l2...r2-x+1]=S[k+1...(k+L)-x+1]$

即 $\text{S1}=\text{S2}=\text{S3}$ 。

所以 $T[l1...r1-x+1]=S[k+1...p]$ ，

也就是说 $T[1...r1-x+1]=S[k+1...p]$ ，这一段已经匹配成功了。

即 $\text{S1}$ 与 $\text{S2}$ 是相等的，已经匹配成功了。

那么我们就可以从 $S[p+1]$ 和 $T[r1-x+2]$ 开始暴力匹配了，无需再考虑前面的东西。

那么这段的代码长这样：

int now=extend[p0]+p0-i;
now=max(now,0);//这里是防止i>p
while(t[now]==s[i+now]&&now<(int)t.size()&&now+i<(int)s.size())now++;//暴力求解的过程
extend[i]=now;
p0=i;//更新p0

求 $next$

求 $extend$ 的大部分过程已经完成了，现在就剩怎么求 $next$ 了，我们先摸清一下求 $next$ 的本质：

求 T 的每一个后缀与 T 的最长公共前缀长度

听起来好熟悉，我们再看一下题面：

求 S 的每一个后缀与 T 的最长公共前缀长度

我们发现求 $next$ 的本质和求 $extend$ 的本质是一样的，所以我们直接复制重新打一遍就好了。

这其实和 $kmp$ 的思想很相似，因为 $kmp$ 也是自己匹配一遍自己，再匹配文本串。

要注意的一点是：求 $next$ 时我们要从第2位（也就是代码中的第1位）开始暴力，这样能防止求 $next$ 时引用自己 $next$ 值的情况。

时间复杂度

因为求 $next$ 的时间复杂度是 $O(m)$ ，求 $extend$ 的时间复杂度是 $O(n)$ ，所以总时间复杂度： $O(n+m)$ ，即 $S$ 串与 $T$ 串的长度之和。

Code

#include

#define N 20000010 

using namespace std;

int q,nxt[N],extend[N];
int slen,tlen;
char s[N],t[N];

void getnxt()
{
    nxt[0]=tlen;//nxt[0]一定是T的长度
    int now=0;
    while(t[now]==t[1+now]&&now+1<tlen)now++;//这就是从1开始暴力
    nxt[1]=now;
    int p0=1;
    for(register int i=2;i<tlen;i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<nxt[p0]+p0)nxt[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else
        {//第二种情况
            int now=nxt[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
            while(t[now]==t[i+now]&&i+now<tlen)now++;//暴力
            nxt[i]=now;
            p0=i;//更新p0
        }
    }
}

void exkmp()
{
    getnxt();
    int now=0;
    while(s[now]==t[now]&&now<min(slen,tlen))now++;//暴力
    extend[0]=now;
    int p0=0;
    for(register int i=1;i<slen;i++)
    {
        if(i+nxt[i-p0]<extend[p0]+p0)extend[i]=nxt[i-p0];//第一种情况
        else
        {//第二种情况
            int now=extend[p0]+p0-i;
            now=max(now,0);//这里是为了防止i>p的情况
            while(t[now]==s[i+now]&&now<tlen&&now+i<slen)now++;//暴力
            extend[i]=now;
            p0=i;//更新p0
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%s%s",s,t);
    slen=strlen(s),tlen=strlen(t);
    exkmp();
    long long z=0,p=0;
    for(register int i=0;i<tlen;i++)z^=1ll*(i+1)*(nxt[i]+1);//输出nxt
    for(register int i=0;i<slen;i++)p^=1ll*(i+1)*(extend[i]+1);//输出extend
    printf("%lld\n%lld\n",z,p);
    return 0;
}