树状数组 单点修改区间查询

 树状数组


 树状数组是什么?

不写什么哪年谁发明的了,太无聊,有兴趣的话自行百度即可

树状数组,时间复杂度O(mlogn)明显优于暴力枚举以及前缀和,主要用于单点修改区间查询(当然还有区间修改单点查询),如果一道题中只有区间查询,那么建议使用前缀和维护

树状数组的思想


思想直接理解不好理解,借助数据

a数组下标 1 2 3 4 5 6 7 8
数值 2 5 6 3 2 7 1 4

以上是我们要存储的a数组,就是原数据

b数组下标 1 2 3 4 5 6 7 8
数值 2 7 6 16 2 9 1 26

以上是操作完的树状数组,探索规律

b[1]=a[1]

b[2]=a[1]+a[2]=b[1]+a[2]

b[3]=a[3]

b[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=b[2]+b[3]+a[4]

b[5]=a[5]

b[6]=a[5]+a[6]=b[5]+a[6]

b[7]=a[7]

b[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]=b[4]+b[6]+b[7]+a[8]

 

 

树状数组 单点修改区间查询_第1张图片

这张图是翻博客上的,博主说是从网上找的,所以也就不标明出处了,很优美的一张图

树状数组 单点修改区间查询_第2张图片

用树状数组的形式表示出来即为上图(上图指第二张)

也就是说,b数组负责维护一段a数组的区间和

这里引入一个lowbit函数 ,lowbit(a)表示a的二进制格式下最后一个1表示的数

十进制数 二进制数 lowbit值
1 0001 1
2 0010 2
3 0011 1
4 0100 4
5 0101 1
6 0110 2
7 0111 1
8 1000 8

结合之前的图,我们可以发现,当a+lowbit(a)=b时,a就会包括在b维护的这段区间和中,若b+lowbit(b)=c,那么a,b就都包括在c所维护的区间和中,树状数组的各种操作均通过这个性质来进行

接下来直接结合代码实现吧

 

几种常用函数:


lowbit

int lowbit(int x)//求x的lowbit值
{
    return x&-x;//这个不用理解了,直接背过就行
}

​

​

单点修改

​
int modify(int p,int c)//给p加上c
{
    for (int i=p;i<=n;i+=lowbit(i))//n是数据数量
        b[i]+=c;//修改树状数组的值
}

​

建立树状数组(其实就是n次单点修改)

    for (int i=1;i<=n;i++)
        modify(i,a[i]);

 区间查询(其实就是求前缀和)

int query(int l)//求1~l的前缀和
{
    int ans;
    for (int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans=ans+b[i];
    return ans;
}

​

附例题  洛谷 3374 【模板】树状数组 1https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374

#include
#define maxn 500050
using namespace std;
int n,m;
int a[maxn],b[maxn];
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
int modify(int x,int y)
{
	for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		b[i]+=y;
}
int query(int x)
{
	int ans=0;
	for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		ans+=b[i];
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		modify(i,a[i]);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int p;
		scanf("%d",&p);
		if (p==1)
		{
			int c,k;
			scanf("%d%d",&c,&k);
			modify(c,k);
		}
		if (p==2)
		{
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",query(r)-query(l-1));
		}
	}
	return 0;
}

 

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