树状数组 单点修改区间查询

 树状数组

 树状数组是什么？

不写什么哪年谁发明的了，太无聊，有兴趣的话自行百度即可

树状数组，时间复杂度O(mlogn)明显优于暴力枚举以及前缀和，主要用于单点修改区间查询（当然还有区间修改单点查询），如果一道题中只有区间查询，那么建议使用前缀和维护

树状数组的思想

思想直接理解不好理解，借助数据

a数组下标	1	2	3	4	5	6	7	8
数值	2	5	6	3	2	7	1	4

以上是我们要存储的a数组，就是原数据

b数组下标	1	2	3	4	5	6	7	8
数值	2	7	6	16	2	9	1	26

以上是操作完的树状数组，探索规律

b[1]=a[1]

b[2]=a[1]+a[2]=b[1]+a[2]

b[3]=a[3]

b[4]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]=b[2]+b[3]+a[4]

b[5]=a[5]

b[6]=a[5]+a[6]=b[5]+a[6]

b[7]=a[7]

b[8]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+a[5]+a[6]+a[7]+a[8]=b[4]+b[6]+b[7]+a[8]

 

 

这张图是翻博客上的，博主说是从网上找的，所以也就不标明出处了，很优美的一张图

用树状数组的形式表示出来即为上图（上图指第二张）

也就是说，b数组负责维护一段a数组的区间和

这里引入一个lowbit函数 ，lowbit(a)表示a的二进制格式下最后一个1表示的数

十进制数	二进制数	lowbit值
1	0001	1
2	0010	2
3	0011	1
4	0100	4
5	0101	1
6	0110	2
7	0111	1
8	1000	8
…	…	…

结合之前的图，我们可以发现，当a+lowbit(a)=b时，a就会包括在b维护的这段区间和中，若b+lowbit(b)=c，那么a,b就都包括在c所维护的区间和中，树状数组的各种操作均通过这个性质来进行

接下来直接结合代码实现吧

 

几种常用函数：

lowbit

int lowbit(int x)//求x的lowbit值
{
    return x&-x;//这个不用理解了，直接背过就行
}

​

​

单点修改

​
int modify(int p,int c)//给p加上c
{
    for (int i=p;i<=n;i+=lowbit(i))//n是数据数量
        b[i]+=c;//修改树状数组的值
}

​

建立树状数组（其实就是n次单点修改）

    for (int i=1;i<=n;i++)
        modify(i,a[i]);

 区间查询（其实就是求前缀和）

int query(int l)//求1~l的前缀和
{
    int ans;
    for (int i=l;i>=1;i-=lowbit(i))
        ans=ans+b[i];
    return ans;
}

​

附例题  洛谷 3374 【模板】树状数组 1https://www.luogu.org/problemnew/show/P3374

#include
#define maxn 500050
using namespace std;
int n,m;
int a[maxn],b[maxn];
int lowbit(int x)
{
	return x&-x;
}
int modify(int x,int y)
{
	for (int i=x;i<=n;i+=lowbit(i))
		b[i]+=y;
}
int query(int x)
{
	int ans=0;
	for (int i=x;i>=1;i-=lowbit(i))
		ans+=b[i];
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for (int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		modify(i,a[i]);
	for (int i=1;i<=m;i++)
	{
		int p;
		scanf("%d",&p);
		if (p==1)
		{
			int c,k;
			scanf("%d%d",&c,&k);
			modify(c,k);
		}
		if (p==2)
		{
			int l,r;
			scanf("%d%d",&l,&r);
			printf("%d\n",query(r)-query(l-1));
		}
	}
	return 0;
}