普利姆（Prim），（克鲁斯卡尔）kruskal算法，最小生成树，DFS和BFS以及图的连通性问题

DFS和BFS

1：图的DFS=树的先根遍历=二叉树的先序遍历。
从无向图任意结点出发进行一次DFS即可访问所有结点，则该图是：连通图
判断一个有向图是否有环亦可用DFS
2：基于邻接矩阵的DFS时间复杂度：O(n^2),基于邻接表的DFS时间复杂度：O(n+e)

3：图的BFS=树的层次遍历，能够遍历所有与该结点连通的顶点，可求无向图的所有连通分量

4：基于邻接矩阵的BFS是唯一的,基于邻接表的BFS不唯一

连通性

连通度：在连通图上至少删除k个顶点才能破坏图的连通性，称k为该图的连通度

最小生成树

定义：不允许有环，从n个顶点的连通图选取n-1条权值最小的边
两种算法：Prim算法和Kruskal算法

任何一个连通图的最小生成树有一棵或者多棵，因为可能有多条权值相同的边

1：Prim：从某个顶点出发，选取与其连接的最小路径,再从被选的那个结点出发，重复以上操作，直到遍历完所有结点。
此时的图存储结构是邻接矩阵
Prin算法时间复杂度：O(n^2)， 适用于稠密网

#define Max_Vex 6 //最大范围
#define LostType int
typedef char  VertexType;//顶点名字的类型 
typedef enum {
	DG,DN,UDG,UDN//有向图，有向网，无向图 无向网 
}GraphKing;

typedef struct ArcCell{
	VRType  adj;//弧或者边的权值等 
	InfoType *Info;//该弧相关信息的指针 
}ArcCell,AdjMatrix[MAX_VERTEX_MUN][MAX_VERTEX_MUN];//该矩阵的每一个元素拥有其成员adj 和 *info 

typedef struct MGraph{
	VertexType vexs[MAX_VERTEX_MUN];//  比如说V1 V2 V3。。。。的类型
	AdjMatrix arcs;//邻接矩阵
	int vexnum,arcnum;//当前顶点数和弧数
	GraphKing kind; 
}MGraph,*MGraphLink;

typedef struct {
	int adjvex;//顶点名
	LostType Lowlost;	 
}Prim,Closedge[Max_Vex];

 int Minnum(Closedge closedge){//进来   返回下一个结点；第K个结点 最小的那个 
 	 int i,j=0,min=100;
 	 for(i=1;i<Max_Vex;i++){
 	 	if((closedge[i].Lowlost>0)&&(min>closedge[i].Lowlost)) {
 	 		min=closedge[i].Lowlost;
 	 		printf("选好的顶点%d权值%d",i,min);
 	 		j=i;//当前矩阵最小值的下标 
		  }
	  }
	  return j; 
 }

void MiniSpanTree_PRIM(MGraph G){//最小生成树的普利姆算法 
 	//暂时约定从第一个顶点进入（开始）
	 
 	int i,k=0,j=0;Closedge  closedge;
 	printf("入口的顶点%d",G.vexs[0]); 
	 for(i=1;i<G.vexnum;i++){
	 	closedge[i].adjvex=G.vexs[i];//顶点名  坐标 
	 	closedge[i].Lowlost =G.arcs[k][i].adj;//第一个顶点与其余各顶点(不包括第一个顶点,index从0开始)的权值	 	
	 } //对于无向图来说，只用遍历一行(列)就能得到weigth 
	 closedge[0].Lowlost=0;//入口入U集、、下次就不比较了 
	
	 for(i=1;i<G.vexnum;++i) {
	 	k=Minnum(closedge);//最小结点的序号 
		printf("---->%c",G.vexs[k]);  //被选的顶点
		closedge[k].Lowlost=0;//第k个顶点入U集合 下次就不用比较了
		for(j=0;j<G.vexnum;++j){//更新closedge数组 
			if(G.arcs[k][j].adj<closedge[j].Lowlost){//重新更新closedge
			closedge[j].adjvex=G.vexs[j];
			closedge[j].Lowlost=G.arcs[k][j].adj;//权值				
			} 
		}	
	 }
	  
 return 0;	
 }

2：Kruskal算法：第一步：多次选“两两权值最小且不重复的顶点相连”，如果总的顶点树目为奇数则余留一个等下次再选，第二步：重复第一步骤，直到变成连通图。
时间复杂度：O(elog2e)，通常选并查集做辅助，选权值最小的原则：不能构成回路，适用于稀疏图