双线性变换中的问题探讨（滤波器设计的常用方法之一）

在设计数字滤波器时，有一种常用的方法是双线性变换方法。在使用该方法时，我对其中的一个公式产生了兴趣，并且试着推导解释它，终于我找到一个简单的方法来解释它。

在双线性变换中，涉及到s域和z域之间的映射，其中重要的公式是：

s=2T（1−z−11+z−1）

这个公式的推导过程如下：

 s=1Tln(z)=2T[z−1z+1+13(z−1z+1)3+15(z−1z+1)5+⋯]≈2Tz−1z+1=2T1−z−11+z−1

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大多数人对其中的ln(x)的级数展开并不能一下子明白，在网上寻找证明也是徒劳的。

接下来和我一起来证明ln(x)的级数展开

首先考虑：

 ln(1−w1+w)  =ln(1−w)−ln(1+w)=(−w−12w2−13w3−⋯)−(w−12w2+13w3−⋯)=2∗(−w−13w3−15w5⋯)

接下来做个变换，变换公式为：

 1−w1+w 1−z1+z=z=w

利用变换公式带入上式，得到：

 ln(z)=2∗(z−1z+1+13(z−1z+1)3+15(z−1z+1)5⋯)

综上所述，可以带到常用的双线性变换公式。