卡尔曼滤波总结

Kalman滤波包含两个步骤：

（1）用k-1时刻的最优估计预测k时刻的状态变量：

 

　　由上式可知，新的最优估计是根据上一最优估计预测得到的，并加上已知外部控制量的修正。
　　而新的不确定性由上一不确定性预测得到，并加上外部环境的干扰。

（2）对k时刻的状态进行观测，观测的状态量是Zk，协方差是Rk。用观测量对预测量进行修正，从而得到k时刻的最优状态估计。

其中，矩阵K叫做卡尔曼增益。Hk是指预测值和测量值可能不在一个单位和尺度上，用Hk这个矩阵将其转换到一个单位和尺度上。

由（7）（18）（19）公式可见：卡尔曼滤波是一个递归过程，只需要知道初始时刻的最优值，和它所对应的协方差以及测量值，就可以进行卡尔曼估计了。

 

 

 

 

 

附：下面是公式的推导过程，可以不看：

（推导过程总结自http://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/）

公式（7）很好理解，一般根据物理公式等等都很容易建模。那么（18）（19）是怎么来的呢？

我们是从预测值和观测值来得到最优估计值的，我们的前提是两个都是有噪声的高斯分布，最优值要么靠近预测值，要么靠近观测值。我们现在就是要在这两个高斯分布区域中找一个最可能。那么这个最可能就是两个分布的重叠部分了。重叠部分怎么来？——将这两个高斯分布相乘就可以了。

由此可以得到：

继而得到：

写成矩阵形式：

带入我们的预测值和测量值：

得到：

进一步简化便得到（18）（19）：