镜像矩阵（Reflection）

        镜像（反射）矩阵是n维空间中的沿n-1维平面的一种矩阵变换，常见的应用场景是在2维空间图像处理、3维空间物体场景变换。先直观看看镜像变换的效果：

                                                 

        直观的感受了镜像变换的效果之后，接下来我们看看这个变换的数学表达式是什么样的。首先n维度空间的镜像变换是基于某个n-1维度平面（对于2维度就是某条直线）来说的，线性代数的知识知道n维空间的n-1维平面存在法向量，假设是要做镜像平面的单位法向量，单位法向量||u||=1，定义镜像矩阵。

        1. Q是对称和标准正交的，  Q是对称的。Q是标准正交的。如果对矩阵运算背后的原理不太熟悉，我们也可以将Q展开:

        

        由Q的矩阵展开形式，很明显看到，所以Q是对称的。标准正交：是Q的两列，由标准正交的定义，需要满足如下条件：

        

        

                

                

                

         

                      

                      

         2.,这条性质反应了镜像的特点，镜像两次等于原空间。

        上面是镜像矩阵的定义和它的一些性质和推导，那么我们再做一点深层次的思考：为什么镜像的表达会是一个矩阵变换，如果我做旋转是不是也是一个矩阵变换？首先，问题2的答案：YES,2维空间的旋转的变换矩阵是：。

        对于问题1，矩阵变换的本质可以理解成坐标系的变换，对于镜像和旋转我们都是对原坐标系中的向量（坐标系中的点可以表示成原点指向该点的向量）用新的坐标系中的基进行了表示。比如二维直角坐标系x0y的坐标基向量是（1，0）和（0，1），如果用矩阵表示：,基向量就是矩阵的列向量，(1,1)点这个坐标系下的坐标（x,y）由方程组求得(x，y)=（1，1）因为在原坐标系下，假设我们对（1，1）点做沿x轴做镜像，这里的镜像很简单，x轴和原坐标系相同，y轴与原坐标系反号，所以镜像之后新的坐标系基向量是(1,0)和(0,-1)（如果你通过上面的镜像公式可以求得同样的答案，u=(0,1)）,新的坐标系的矩阵表示，原坐标系下（1，1）点在新坐标系下的坐标有方程组求得（x,y）=(1,-1),和我们直观认知一样：

                                                     

        最后我们说说2维度空间和3维空间的镜像矩阵的表达式，首先是2维空间，对于2-D空间的某个条直线做镜像，假设该直线的单位法向量u（x，y），由计算得到2-D空间的镜像矩阵：

        

        对于3-D空间的某平面做镜像：

        

        镜像矩阵的另一种表示形式：Q'=2P-I, 其中P是投影矩阵，这个表达式和等价。我们证明一下2纬空间沿着某条线做镜像的情况下这两个矩阵的等价性。

证明：

        假设a是P投影方向上的单位向量，u是垂直与投影方向上的单位向量,那么,。

        

        假设a与x轴的夹角为，那么u与x轴的夹角为，那么：

         

        

        带入Q’-Q中得到：

        

        

        

        所以Q'-Q=0,所以Q'-Q得证。