最短路合集（Dijkstra、SPFA、Floyd以及路径还原模板）
目录
- 一.Dijkstra算法（不能处理存在负权的清况）
- 1.堆（优先队列）优化版本：（慢，占用内存还大）
- 2.普通线段树优化版本（一般块）
- 2.大佬的特殊线段树优化版本：（超快的）
- 二.SPFA 算法（可以处理存在负权的清况）
- 三.Floyd算法（可以处理存在负权的清况）
- 1.P2888 [USACO07NOV]牛栏Cow Hurdles（Floyd算法）
- 四.路径还原
- （1）模板
- （2）模板题
一.Dijkstra算法（不能处理存在负权的清况）
4 6 1
1 2 2
2 3 2
2 4 1
1 3 5
3 4 3
1 4 4
0 2 4 3
1.堆（优先队列）优化版本：（慢，占用内存还大）
#include
typedef long long ll;
const ll mod=2147483647000;
const ll N=500007;
struct Edge
{
ll v,w,next;//v:目的地,w:距离,next:下一个节点
}G[N];
ll head[N],cnt,n,m,s;
ll dis[N];//存距离
inline void addedge(ll u,ll v,ll w)//链式前向星存图
{
cnt++;
G[cnt].w=w;
G[cnt].v=v;
G[cnt].next=head[u];
head[u]=cnt;
}
struct node
{
ll d,u;//d是距离u是起点
bool operator<(const node& t)const//重载运算符
{
return d>t.d;
}
};
inline void Dijkstra()
{
for(register int i=1;i<=n;++i)dis[i]=mod;//初始化
dis[s]=0;
priority_queue<node>q;//堆优化
q.push((node){0,s});//起点push进去
while(!q.empty())
{
node tmp=q.top();q.pop();
ll u=tmp.u,d=tmp.d;
if(d!=dis[u])continue;//松弛操作剪枝
for(register int i=head[u];i;i=G[i].next)//链式前向星
{
ll v=G[i].v,w=G[i].w;
if(dis[u]+w<dis[v])//符合条件就更新
{
dis[v]=dis[u]+w;
q.push((node){dis[v],v});//沿着边往下走
}
}
}
}
int main()
{
scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&s);
for(register int i=1;i<=m;++i)
{
ll x,y,z;
scanf("%lld %lld %lld",&x,&y,&z);
addedge(x,y,z);//建图
}
Dijkstra();
for(register int i=1;i<=n;++i)
printf("%lld ",dis[i]);
printf("\n");
return 0;
}
2.普通线段树优化版本（一般块）
#include2.大佬的特殊线段树优化版本：（超快的）
此版本来源
先考虑一下如果要优化dijkstra算法，优先队列需要哪些操作，让线段树来实现它们。
查询队列是否为空，即还有没有要用来松弛其它点的点。
取出dist值最小的元素，并删除
修改一个点的dist值
如果我们用线段树来维护dist数组，那么修改操作就是非常简单的单点修改。
我们只要用线段树来维护区间dist最小元素是谁(minpos，简称mp)即可。
但是线段树是不支持删除元素的，我们可以把dist[0]设置为恒为inf，
如果要删除一个元素只要让它对应的叶节点mp值=0即可。
这样的话就会保证查询dist最小元素的时候一定不会查到它；
如果查到它就说明“优先队列”已经空了。
对比：
大佬的线段树版本：（超快的，内存超少的）
普通的线段树版本：（慢了一点）
堆（优先队列）优化版本：（好慢，占用内存还大）
#include 二.SPFA 算法（可以处理存在负权的清况）
SPFA 算法详解(最短路径)
完整代码：
#include 三.Floyd算法（可以处理存在负权的清况）
void Floyd()
{
for(int k = 1; k <= n; k++)//注意，一定要先枚举中转节点保证三角形的情况
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= n; j++)
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
1.P2888 [USACO07NOV]牛栏Cow Hurdles（Floyd算法）
P2888 [USACO07NOV]牛栏Cow Hurdles（Floyd算法）
四.路径还原
（1）模板
以下来自白书
如果需要输出路径
可以用一个prev[ j ]来记录最短路上顶点 j 的前驱，那么在o(|V|)的时间内完成最短路径的恢复。在d[ j ]被d[ j ] = d[ k ] + cost[ k ][ j ]更新时，修改prev[ j ] = k，这样就可以求出来prev的数组，可以在以上算法中用路径前驱标记法来还原出来路径。
这里给出dijkstra算法的路径还原算法代码：
int cost[MAX_V][MAX_V]; //cost[u][v]表示边e=(u, v)的权值（不存在这条边时设为INF）
int d[MAX_V]; //从顶点s出发的最短距离
bool used[MAX_V]; //已经使用过的图中的点
int V; //顶点数
int prev[MAX_V]; //记录前驱点
//从s出发到各个顶点的距离
void dijkstra(int s)
{
fill(d, d + V, INF); //初始化
fill(used, used + V, false); //初始化
fill(prev, prev + V, -1);
d[s] = 0;
while(true)
{
int v = -1;
for(int u = 0; u < V; u++){
if(!used[u] && (v == -1 || d[u] < d[v])) v = u;
// 从尚未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
}
if(v == -1) break; //没有可跟新的了，结束
used[v] = true;
for(int u = 0; u < V; u++){
d[u] = min(d[u], d[v] + cost[u][v]); //因为加入了一个点V所以所有的d都要再更新一遍
prev[u] = v;
}
}
}
vector<int> get_path(int t) //到顶点t的最短路
{
vector<int> path;
for(; t != -1; t = prev[t])
path.push_back(t);
reverse(path.begin(), path.end());
return path;
}
（2）模板题
B. wzy的大冒险——出发咯QAQ
wzy踏上了冒险的旅程。
现在他从地精手里买了一份地图，地图上有n个城镇。
他从第一个城镇出发，走向（没钱只能走）第n个城镇，现在，请你帮wzy找到一条最短的路径，并倒序（从n到1）输出一条最短路径。
举个栗子:如果有两条路径6 4 3 1和6 5 2 1，我们选择6 4 3 1这条。
地精小提示：路是单向的QAQ。
输入格式
第一行两个数n,m ，(1≤n≤103,1≤m≤103)
接下来m行，每行三个数x,y,z，表示点 x 与点 y 之间有一条权值为 z 的有向边 (1≤x,y,z≤103).
输出格式
第一行一个整数表示 1 到 n 的最短距离；
第二行倒序输出这条路径。
样例
input
5 7
1 2 69
1 3 87
1 4 79
2 5 94
2 3 10
3 5 79
4 5 43
output
122
5 4 1
#include
typedef int ll;
//const ll mod=2147483647000;
const ll N=1010;
const ll INF=0x7f7f7f7f;
//邻接矩阵存图
ll G[N][N],used[N],dis[N],pre[N],n,m;
inline void dijkstra(ll s)//s是起点
{
memset(used,0,sizeof(used));
memset(dis,0x7f,sizeof(dis));
memset(pre,-1,sizeof(pre));
dis[s]=0;
while(1)
{
ll v=-1;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!used[i]&&(v==-1||dis[i]<dis[v]))
v=i;
if(v==-1)break;
used[v]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(dis[i]>dis[v]+G[v][i])
{
dis[i]=dis[v]+G[v][i];
pre[i]=v; //保存最短路上下一个节点的前驱
}
}
}
}
vector<ll> get_graph(ll t)//此路径是逆序的
{
vector<ll> mp;
for(;t!=-1;t=pre[t])
mp.push_back(t);
//reverse(mp.begin(),mp.end());//需要正序就用reverse
return mp;
}
int main()
{
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF)
{
memset(G,INF,sizeof(G));//这样赋值必须是int型！
ll a,b,c;
for(int i=0;i<m;++i)
{
scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
G[a][b]=c;
}
dijkstra(1);
vector<ll>ans=get_graph(n);
int len=ans.size();
cout<<dis[n]<<endl;
for(int i=0;i<len;++i)
printf("%d%c",ans[i],i==len-1?'\n':' ');
}
return 0;
}
专题·最短路【including Dijkstra， SPFA，Floyd，传递闭包，二维最短路，分层图最短路，最短路计数……
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