算法导论笔记——第十五章 动态规划

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一、概念部分

第一部分比较抽象，建议先大体上浏览一下，有个初步印象，等熟悉第二部分的具体的例题之后，回过头再仔细总结这一部分。

1.1 动态规划法思想

首先说明一点，动态规划（dynamic programming）中的programming指的是一种表格法，而不是编程的意思。动态规划法的思想妙就妙在这个“表格”上。根据动态规划思想，要求解一个问题，先求解它的子问题，然后根据子问题的解，得到该问题的解。而要求解子问题，则要继续求解子问题的子问题，如此可以递归的进行下去。这里需要注意的是，不同的问题，可能具有公共的子问题，这些公共的子问题的解，求解一次之后，问题的解可以记录在表格中，避免多次求解。

1.2 动态规划 VS 分治法

• 共同点：动态规划与分治法类似，都是通过组合子问题的解来求解原问题。

• 不同点：分治法将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解；而动态规划法用于子问题重叠的情况。

1.3 适用范围

最优化问题（optimization problem），这类问题可以有很多可行的解，每个解都有一个值，动态规划法可以求出具有最优值（最大值或最小值）的解。

1.4 动态规划算法的设计步骤

1. 刻画一个最优解的结构特征。也就是定义状态。
2. 递归地定义最优解的值。也就是找出状态转移方程。就是考虑，如何通过子问题的解，去求解原问题的解？
3. 计算最优解的值，通常采用自底向上的方法。按问题规模由小到大，计算所有子问题，得到规模最大的，最原始问题的解。
4. 利用计算出的信息构造一个最优解。

二、具体问题

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