降维之线性判别分析（LDA）

LDA是一种有监督学习算法。
在PCA中，算法没有考虑数据的标签（类别），只是把数据映射到一些方差比较大的方向而已。

思想

LDA是一种监督学习的降维技术，也就是说它的数据集的每个样本是有类别输出的，这点和PCA不同。PCA是不考虑样本类别输出的无监督降维技术。LDA的思想可以用一句话概括，就是“投影后类内方差最小，类间方差最大”，即最大化类间距离，最小化类内方差

推导

(1) 假设有C1、C2两个类比的样本，两类均值为：

${\mu }_1=\frac{1}{N_1}{\sum }_{x\in C_1}x$

${\mu }_2=\frac{1}{N_1}{\sum }_{x\in C_2}x$
(2) 目标
是希望投影后两类之间的距离尽可能大，每一类的方差小距离表示为：

$$D(C_1,C_2)=||{\mu }_1-{\mu }_2|{|}_2^2$$

其中${\mu }_1$,${\mu }_2$表示两类的中心在$\omega$方向上的投影向量

${\mu }_1=w^T{\mu }_1,{\mu }_2=w^T{\mu }_2$

(3)优化
需要优化的问题
$$\{\begin{array}{llc}& max||{\omega }^T({\mu }_1-{\mu }_2)|{|}_2^2& ,\\ s.t& {\omega }^T\omega =1& \text{单位方向向量}\end{array}$$
（4）目标函数
目标函数定义为类间距离与类内距离的比值，引出最大化的目标：

$$maxJ(w)=\frac{||w^T({\mu }_1-{\mu }_2)|{|}_2^2}{D1+D2}$$
D1 D2为两个类投影后的方差，其中D1，D2为：
$$D_1=\sum _{x\in C_1}(w^{T}x-w^T{\mu }_1{)}^2=\sum _{x\in C_1}{w}^T(x-{\mu }_1)(x-{\mu }_1{)}^{T}w$$

$$D_2=\sum _{x\in C_2}{w}^T(x-{\mu }_2)(x-{\mu }_2{)}^{T}w$$
故$J(w)$可以表示为：
$$J(w)=\frac{||w^T({\mu }_1-{\mu }_2)|{|}_2^2}{{\sum }_{x\in C_i}{w}^T(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^{T}w}=\frac{w^T({\mu }_1-\mu 2)({\mu }_1-{\mu }_2)w}{{\sum }_{x\in C_i}{w}^T(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^{T}w}$$

在此，我们定义类间散度矩阵（各样本间的均方距离）：$S_B=({\mu }_1-{\mu }_2)({\mu }_1-{\mu }_2{)}^T$，
类内散度矩阵(各样本点围绕均值的散布情况)为：$S_w={\sum }_{x\in C_i}(x-{\mu }_i)(x-{\mu }_i{)}^T$

$J(w)$变换为：
$$J(w)=\frac{w^T{S}_{B}w}{w^T{S}_{w}w}$$

对$\omega$求偏导，并令导数为零：
$$\frac{\partial J(\omega )}{\partial \omega }=\frac{\left(\frac{\partial w^T{S}_{B}w}{\partial w}{w}^T{S}_{w}w-\frac{\partial w^T{S}_{w}w}{\partial w}{w}^T{S}_{B}w\right)}{(w^T{S}_{w}w{)}^2}$$

通过矩阵求导法则,可得出：
$$(w^T{S}_{w}w)S_{B}w=(w^T{S}_{B}w)S_{w}w$$

令 $\lambda =J(w)=\frac{w^T{S}_{B}w}{w^T{S}_{w}w}$

整理得出：
$S_{B}w=\lambda S_{w}w⟹S_w^{-1}{S}_{B}w=\lambda w$
于是LDA降维变成了求矩阵特征向量的问题，J(w)就对应了矩阵$S_w^{-1}{S}_B$最大的特征值，投影方向为这个特征值对应的特征向量。

步骤

对于多类别标签高维数据的LDA步骤如下：

• 计算数据集中每个类别样本均值向量uj，以及总体样本均值u；
• 计算类内散度矩阵$S_w,全局散度矩阵$S_t$，并得到类间散度矩阵$S_b= S_t-S_w$
• 对于矩阵$S_w^{-1}{S}_b$ 进行特征值分解，将特征值从大到小排列；
• 取特征值前d大的对应特征向量$w_1,...w_d$,将n维样本映射到d维
  $$x_i\prime =\left[\begin{array}{c}{w}_1^T{x}_i\\ w_2^T{x}_i\\ \cdots \\ w_d^T{x}_i\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$

输入：数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,((x_m,y_m))\}$,其中任意样本$x_i$为n维向量，$y_i\in \{C_1,C_2,...,C_k\}$，降维到的维度d。

输出：降维后的样本集$D\prime$

1) 计算类内散度矩阵$S_w

2) 计算类间散度矩阵$S_b

3) 计算矩阵$S_w^{-1}{S}_b$

4）计算$S_w^{-1}{S}_b$的最大的d个特征值和对应的d个特征向量$(w_1,w_2,...w_d)$,得到投影矩阵WW

5) 对样本集中的每一个样本特征$x_i$,转化为新的样本$z_i=W^T{x}_i$

6) 得到输出样本集$D^{\prime }=\{(z_1,y_1),(z_2,y_2),...,((z_m,y_m))\}$

比较

相同点

1）两者均可以对数据进行降维。

2）两者在降维时均使用了矩阵特征分解的思想。

3）两者都假设数据符合高斯分布。

不同点

1）LDA是有监督的降维方法，而PCA是无监督的降维方法

2）LDA降维最多降到类别数k-1的维数，而PCA没有这个限制。

3）LDA除了可以用于降维，还可以用于分类。

4）LDA选择分类性能最好的投影方向，而PCA选择样本点投影具有最大方差的方向。