图的m着色问题

问题

图的m着色问题。给定无向连通图G和m种颜色，用这些颜色给图的顶点着色，每个顶点一种颜色。如果要求G的每条边的两个顶点着不同颜色。给出所有可能的着色方案；如果不存在，则回答”NO”。

解析

四色猜想：四色问题是m图着色问题的一个特例，根据四色原理，证明平面或球面上的任何地图的所有区域都至多可用四种、颜色来着色，并使任何两个有一段公共边界的相邻区域没有相同的颜色。这个问题可转换成对一平面图的４－着色判定问题(平面图是一个能画于平面上而边无任何交叉的图)。将地图的每个区域变成一个结点，若两个区域相邻，则相应的结点用一条边连接起来。多年来，虽然已证明用5种颜色足以对任一幅地图着色，但是一直找不到一定要求多于4种颜色的地图。直到1976年这个问题才由爱普尔，黑肯和考西利用电子计算机的帮助得以解决。他们证明了4种颜色足以对任何地图着色。

设计

考虑所有的图，讨论在至多使用m种颜色的情况下，可对一给定的图着色的所有不同方法。通过回溯的方法，不断的为每一个节点着色，在前面n-1个节点都合法的着色之后，开始对第n个节点进行着色，这时候枚举可用的m个颜色，通过和第n个节点相邻的节点的颜色，来判断这个颜色是否合法，如果找到那么一种颜色使得第n个节点能够着色，那么说明m种颜色的方案是可行的。

用m种颜色为无向图G=(V,E)着色，其中，V的顶点个数为n，可以用一个n元组x=(col1,col2,…,coln)来描述图的一种可能着色，其中，xi∈{1, 2,…, m}，(1≤i≤n)表示赋予顶点i的颜色。例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无向图（a）的一种着色，顶点A着颜色1，顶点B着颜色2，顶点C着颜色2，如此等等。如果在n元组X中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称此n元组为可行解，否则为无效解。容易看出，每个顶点可着颜色有m种选择，n个顶点就有mn种不同的着色方案，问题的解空间是一棵高度为n的完全m叉树，这里树高度的定义为从根节点到叶子节点的路径的长度。每个分支结点，都有m个儿子结点。最底层有mⁿ个叶子结点。

分析

时间复杂度：O(m*n^2)。

源码

#include
using namespace std;
const int maxn = 100 + 10;
int n, m, match;
int c[maxn][maxn],col[maxn];
int sum = 0;
bool Same(int t) {
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (c[t][i] == 1 && col[i] == col[t])
            return false;
    }
    return true;
}
void BackTrack(int t) {
    if (t > n) {
        sum++;
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            printf("%d ", col[i]);
        printf("\n");
    }
    else {
        for (int i = 1; i <= m; ++i) {
            col[t] = i;
            if (Same(t))BackTrack(t + 1);
            col[t] = 0;
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d", &m);
    scanf("%d %d", &n, &match);
    for (int i = 1; i <= match; ++i) {
        int x, y;
        scanf("%d %d", &x, &y);
        c[x][y] = c[y][x] = 1;
    }
    BackTrack(1);
    if (sum == 0) printf("NO\n");
 else printf("%d\n", sum);
}

github:

https://github.com/Geedhayb/Geed/blob/master/Mcolor.cpp