flod弗洛伊德算法详解

弗洛伊德算法简介：

顶点对之间的最短路径是指：对于给定的有向网G=(V,E),要对G中任意一对顶点有序对V、W(V≠W),找出V到W的最短距离和W到V的最短距离。

解决此问题的一个有效方法是:轮流以每一个顶点为源点,重复执行迪杰斯特拉算法n次,即可求得每一对顶点之间的最短路径,总的时间复杂度为O(n3)。

弗洛伊德（Floyd）提出了另外一个求图中任意两顶点之间最短路径的算法，虽然其时间复杂度也是 O(n3)，但其算法的形式更简单，易于理解和编程。

算法基本思想

弗洛伊德算法仍然使用图的邻接矩阵arcs[n+1][n+1]来存储带权有向图。算法的基本思想是:设置一个n x n的矩阵A(k)，其中除对角线的元素都等于0外，其它元素a(k)[i][j]表示顶点i到顶点j的路径长度，K表示运算步骤。开始时，以任意两个顶点之间的有向边的权值作为路径长度，没有有向边时，路径长度为∞，当K=0时, A (0)[i][j]=arcs[i][j]，以后逐步尝试在原路径中加入其它顶点作为中间顶点，如果增加中间顶点后，得到的路径比原来的路径长度减少了，则以此新路径代替原路径，修改矩阵元素。具体做法为：  

第一步，让所有边上加入中间顶点1，取A[i][j]与A[i][1]+A[1][j]中较小的值作A[i][j]的值，完成后得到A(1)，

第二步，让所有边上加入中间顶点2，取A[i][j]与A[i][2]+A[2][j]中较小的值，完成后得到A(2)…，如此进行下去，当第n步完成后，得到A(n)，A(n)即为我们所求结果,A(n)[i][j]表示顶点i到顶点j的最短距离。    

　　
　　怎样构造一个图，再次不赘述，直接给出floyd算法。
　　void MDNet::Floyd(CDC *pDC)
　　{
　　	typedef vector path;//使用顺序表模板
　　	path p[max_vertex_num][max_vertex_num];
　　	//p存放每对顶点之间的最短路径
　　
　　	int D[max_vertex_num][max_vertex_num];
　　	// D存放每对顶点之间的最短路径值
　　	int i,j,k;
　　	for(i=1;i<=vex_num;i++)
　　	{//初始化
　　		for(j=1;j<=vex_num;j++)
　　		{
　　			p[i][j].push_back(i);
　　			p[i][j].push_back(j);
　　			//顶点i和顶点j之间的路径初始时就是ij。
　　			D[i][j]=arcs[i][j];//路径值为边（i，j）的权值
　　		}
　　	} 
　　for(k=1;k<=vex_num;k++)
　　	 {//对于每一个顶点都要试探
　　		for(i=1;i<=vex_num;i++)
　　		{
　　			for(j=1;j<=vex_num;j++)
　　			{//在顶点i和顶点j之间的路径上试探k
　　				if(i==j)continue;//对角线上的元素（即顶点自身之间）不予考虑
　　					if(D[i][k]+D[k][j]