[算法导论]Floyd-Warshall算法及其证明[DP的经典应用]

可以为负权边，但是不可以有负权环。不仅可以solve the all-pairs shortest-paths problem, but also find the transitive closure of a directed graph.

此算法基于以下观察：

假设节点为V={1,2,3...,n}，首先定义中间节点，考虑subset={1,2,...,k}，对于任何一对节点(i,j)，只考虑中间节点为subset的最短路径，

对于subset={1,2,...,k-1}，则有以下情况：

1）如果k不位于(i,j)的最短路径上，那么(i,j)的最短路径在subset={1,2,...,k-1}的情况不变；

2）如果k位于(i,j)的最短路径上，那么我们考虑i->k->j的路径，那么i->k和k->j的最短路径的中间节点都在subset={1,2,...,k-1}中，这个是已知情况了；

所以我们可以得到以下递归式：

π(i,j)表示i->j的最短路径中j的前序。

紧接着就是求图的传递闭包了，定义为：

其中一种方法就是将权值赋值为1，求节点对的最短路径，时间复杂度为O(n^3)；

然而我们可以用另一个角度来看Floyd算法，定义t(i,j)=1表示i->j存在路径，那么就得到如下的递归式了：

over................................(*^__^*)