P4071 [SDOI2016]排列计数(组合数学/错位排列)

题目

T(T<=5e5)组样例，每组给定两个数n,m(1<=n,m<=1e6)

求有多少种 1到 n 的排列 a，满足序列恰好有 m 个位置 i，使得 ai​=i。

答案对 1e9+7 取模。

思路来源

https://www.bilibili.com/video/BV1Pz41187Px

题解

C(n,m)取出恰好对应的位置，剩下n-m个就对应错位排列的方案

错位排列有以上递推式，考虑n与k对应，共n-1种取法

①k与n对应，则n-2个元素内部错位，D(n-2)

②k与n不对应，1到k-1不能对应1到k-1，k+1到n-1不能对应k+1到n-1

这就是n-1个元素的错位排列，D(n-1)

有D(n)=(n-1)*(D(n-1)+D(n-2))

代码

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
const int N=2e6+10;
ll Finv[N],fac[N],inv[N],f[N];
ll n,m;
int t;
ll modpow(ll x,ll n,ll mod)
{
	ll res=1;
	for(;n;x=x*x%mod,n/=2)
	if(n&1)res=res*x%mod;
	return res;
}
void init(int n)//n=1;--i)Finv[i]=Finv[i+1]*(i+1)%mod;
}
ll C(ll n,ll m)
{
	if(m<0||m>n)return 0;
	return fac[n]*Finv[n-m]%mod*Finv[m]%mod;
}
int main()
{
    init(N-5);
    f[0]=1;f[1]=0;f[2]=1;
    for(int i=3;i