【C/C++练习题】剪绳子

《剑指Offer》面试题14：剪绳子

1 题目

给你一根长度为n绳子，请把绳子剪成m段（m、n都是整数，n>1并且m≥1）。每段的绳子的长度记为k[0]、k[1]、……、k[m]。k[0]*k[1]*…*k[m]可能的最大乘积是多少？例如当绳子的长度是8时，我们把它剪成长度分别为2、3、3的三段，此时得到最大的乘积18。

 

2 算法分析&问题分析

动态规划：适用于求问题的最优解。首先从上向下分析问题，要将一个大问题划分成两个子问题，遍历每一种方案并确定当前最优解，分别对子问题进一步划分求最优解，直到最小问题的最优解求出。将小问题的最优解回归，解出问题的最优解。

由于自上而下的递推公式会产生多个重复的子问题。因此选用自下而上迭代的方法，从已知条件求出最优解。

要使用一个数组来记录每一个子问题的最优解。

1. 绳长 n > 3，利用迭代方式进行动态规划

 

贪心算法：基于一个计算策略（有数学方法证明），每一步都是一个贪婪的选择。

1. 绳长 n >= 5 剪长度为3的绳子
2. 绳长 n == 4 剪成两段长度为2的绳子

 

3 代码分析

#include "iostream"
#include 

using namespace std;


//动态规划求解
//输入：绳子的长度 length
//返回：最优解
int max_to_cut(int length)
{
	//1.考虑特殊情况下的最优解
	if (length < 2) return 0;
	if (length == 2) return 1;
	if (length == 3) return 3;

	int* products = new int [length + 1];	//用于纪录所有子问题的最优解

	//2.设置已知小问题的最优解
	products[1] = 1;
	products[2] = 2;
	products[3] = 3;

	//3.迭代法进行动态规划
	for (int i = 4;i <= length;i++)
	{
		int max = i;
		//遍历每一种可行的切割方案，选出最优
		for (int j = 1;j <= i/2; j++)
		{
			int product = products[j] * products[i-j];
			if (max < product)
			{
				max = product;
			}
		}
		//记录该问题的最优解
		products[i] = max; 
	}

	delete [] products;

	//4.返回最优解
	return products[length];
}


//贪婪算法求解
//输入：绳子的长度 length
//返回：最优解
int new_max_to_cut(int length)
{
	//1.考虑特殊情况下的最优解
	if (length < 2) return 0;
	if (length == 2) return 1;
	if (length == 3) return 3;

	//2.尽可能剪长度为3的绳子
	int n_length3 = length/3;

	//3.剩下长度为4的时候，不必要在剪断了
	if (length % 3 == 1)
	{
		n_length3 -= 1;
		return (pow(3, n_length3) * pow(2, 2));	//返回最优解，长度为4的部分剪短成2+2
	}

	//4.通常情况下，返回的最优解
	int n_length2 = length - n_length3*3;
	return (pow(3, n_length3) * n_length2);
	
}

int main(int argc, char const *argv[])
{
	int n;
	cin >> n;
	// cout << endl;
	cout << max_to_cut(n) << endl;
	cout << new_max_to_cut(n) << endl;
	return 0;
}

 

4 运行结果