单调队列与单调栈

单调队列与单调栈

单调队列

  • 经典的滑动窗口问题: 求一个长度为n的序列A中所有长度为m(m < n)的子区间的最大值。n <= 2e6。

线段树等等容易tle,我们需要一个o(n)的算法来解决这个问题。

思路:

  • 考虑每个窗口,其中必然至少有一个位置为最大值。

  • 如果有一个,在这个窗口中那么这个最大值前方的所有数字对我们都是无益的(不仅小,还退出的早);同样如果有一个以上的最大值,那么我们选取最后一个最大值即可(前方的最大值们不仅可以被替代,还退出的早)。

  • 而对其后方的所有数字,考虑到以后在这个最大值退出窗口之后,它们拥有成为最大值的“潜力”,所以是需要考虑的。

  • 但同样,在这后方的所有数字中,如果存在 \(A_i <= A_j\)\(i < j\) 那么这个 \(A_i\) 是不需要考虑的(不仅小,还退出的早)。

  • 所以在每个窗口中,我们只需要记录当前的最大值以及这个最大值后面的数,当且仅当这个数的后面没有大于等于它的数。

可以看出,这个窗口是可以用一个双向队列来模拟的,每当后方加入一个数,都要从队列尾部开始淘汰掉所有的小于它的数,保证队列中每一个数的后面,在窗口范围内没有大于等于它的数。当队首元素不在窗口范围时,队首元素出队。这样操作后,队内的元素都是单调的,所以叫作单调队列

参考题目:洛谷P1440 (稍有不同)

P1440数组模拟队列代码:

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int n, m; 
struct ab
{
	int l;	//position 
	int v;
} que[2000005];
int head = 1, tail = 1;
int main()
{
	scanf("%d%d", &n, &m);
	printf("0\n");
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		int num;
		scanf("%d", &num);
		while (tail != head && num <= que[tail - 1].v)
		{
			--tail;
		}
		que[tail].l = i;
		que[tail++].v = num;
		while (que[head].l <= i - m)
		{
			++head;
		}
		printf("%d\n", que[head].v);
	}
	scanf("%d", &n);	//吞掉最后一个数的输入 
	return 0;
}

单调栈

了解单调队列后,单调栈让人顾名思义想到的就是栈内所有元素是单调的

解决问题:

  • 1.求一个序列中任意一个数的后方/前方的第一个比自己大/小的数的下标

  • 2.求一个序列中任意一个数的后方/前方连着有多少个比自己小的数

这两个问题本质是一样的,但是朴素算法显然是 \(O(n^2)\) 的,我们要实现时间上的降维就要使用单调栈。

  • 举例来说,求一个序列中任意一个数的后方的第一个比自己大的数的下标,如果不存在则为0,序列长度n <= 3e6。
    • 一开始我们在栈底放入一个INF
    • 将序列从左到右依次入栈
    • 当栈顶元素比当前数小时,栈顶元素出栈同时标记该栈顶元素的对应答案为入栈元素的下标,如此直到栈顶元素大于等于入栈元素
    • 最终留在栈内的元素对应答案都为0

模板题:洛谷P5788

P5788数组模拟栈代码

#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

int n;
int top = 1;

struct ab
{
	int v;
	int l;
} sta[3000005];

int ans[3000005] = {0};

int main()
{
	scanf("%d", &n);
	int xx;
	scanf("%d", &xx);
	sta[top].l = 1;
	sta[top++].v = xx;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		scanf("%d", &xx);
		while (top != 1 && sta[top - 1].v < xx)
		{
			ans[sta[top - 1].l] = i;
			--top;
		}
		sta[top].l = i;
		sta[top++].v = xx;
	}
	while (top != 1)
	{
		ans[sta[top - 1].l] = 0;
		--top;
	}
	for (int i = 1; i < n; ++i)
	{
		printf("%d ", ans[i]);
	}
	printf("%d", ans[n]);
	return 0;
}

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