【学习笔记】GPS原理及数据处理（快速静态定位中的整周模糊度确定,FRAR和LAMBDA）

本节主要讲到了快速静态定位中的整周模糊度确定方法，快速模糊度解算法，Fast Ambiguity Resolution Approch,FRAR）和最小二乘模糊度降相关平差法（Least-square Ambiguity Decorrelation Adjustment,LAMBDA）

1. 基本概念

在短基线中，各种误差能够较完善的得以消除，因此快速静态定位的关键是如何准确的确定整周模糊度。由于短时间内卫星的位置变化不大，历元间的观测值相关性大，所建立的观测方程状态差,这就会导致求出的实数模糊度精度低，置信区间大，落入区间的整数也意味着变多，置信区间内的整数都有可能是正确值，这些整数被称为该模糊度参数的备选解。将所有观测卫星的模糊度参数的备选解排列组合起来就构成了整数模糊度向量的N的备选组。

2.搜索原理

将备选组中的整周模糊度组合一一代入法方程中进行计算，能使观测值残差的平方和最小的这组模糊度组合就是最终的正确解。只有当所有的整周模糊度皆取正确值时，观测值的残差才会与载波相位测量的正常精度对应，一般都小于0.05c，即1cm。如果将其他备选组代入方程，其中至少有一个整数模糊度参数不正确，就会使卫地距产生粗差，从而使观测值残差的平方和迅速增大。至此便是搜索原理。在模糊度参数为整数的情况下求最小二乘解的方法称为整数最小二乘法，整数最小二乘的基本方法：

(N̂ −N)Q−1N̂ (N̂ −N)=min ( N ^ − N ) Q N ^ − 1 ( N ^ − N ) = m i n

式子中，N̂ 为初始解求出的实数解，N为备选组向量，满足上式求出的N即为最 式 子 中 ， N ^ 为 初 始 解 求 出 的 实 数 解 ， N 为 备 选 组 向 量 ， 满 足 上 式 求 出 的 N 即 为 最 优的模糊度组合， 式子无法求解只能使用搜索算法来挑选出来。

3.FARA法

快速模糊度解算法是由1990年由E. Frei和G. Bentler提出的，FARA的实质是把大量显然不合理（经过数理统计检验）的备选组剔除掉，以减少工作量。
统计检验的标准：任意两个整数模糊度参数Ni和Nj之差ΔNij是否位于这两个模糊度差值的置信区间内 统 计 检 验 的 标 准 ： 任 意 两 个 整 数 模 糊 度 参 数 N i 和 N j 之 差 Δ N i j 是 否 位 于 这 两 个 模 糊 度 差 值 的 置 信 区 间 内 ，用公式表示如下：

P(ΔN̂ ij−βmnij⩽ΔNij⩽ΔN̂ ij+βmnij) P ( Δ N ^ i j − β m n i j ⩽ Δ N i j ⩽ Δ N ^ i j + β m n i j )

式子中：
Δ̂ Nij=Δ̂ Nj−Δ̂ Ni(N̂ 为初始解)，ΔNij=Nj−Ni(N为模糊度备选组)； Δ ^ N i j = Δ ^ N j − Δ ^ N i ( N ^ 为 初 始 解 ) ， Δ N i j = N j − N i ( N 为 模 糊 度 备 选 组 ) ；
mN̂ ij=σ0qNii−2qNij+qNjj‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ m N ^ i j = σ 0 q N i i − 2 q N i j + q N j j 协方差传播率得到

FARA法充分利用了初始解协因数阵的非对角线元素所提供的模糊度间的互相关信息，对参数做进一步的数理统计检验。
对于双频观测值还可以用L1的模糊度参数及L2模糊度参数N2作进一步的统计检验。首先组成模糊度的线性组合： 对 于 双 频 观 测 值 还 可 以 用 L 1 的 模 糊 度 参 数 及 L 2 模 糊 度 参 数 N 2 作 进 一 步 的 统 计 检 验 。 首 先 组 成 模 糊 度 的 线 性 组 合 ：

NL=N1−λ2λ1N2 N L = N 1 − λ 2 λ 1 N 2

然后再用置信区间的方法检验。
由于 NL N L 的精度很高，其中误差一般为数毫米，故搜索区间很小，搜索极为有效。
通过上述统计检验，可以把大量的不合格的整数组合迅速予以剔除。然后将剩下不多的备选组合代入组合，寻找出残差和和单位权误差最小。从原则上，能使 σ=∑mi=1V2i/(m−n)‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√ σ = ∑ i = 1 m V i 2 / ( m − n ) (n为未知数的个数)。从原则上讲，能使 σ σ 取最小值的那组模糊度组合就是最优的模糊度组合。
(4)确认最优解需进行的三项统计检验
由于FARA法建立在概率论的基础上的，因此还需要进行三项统计检验。

1. 整数解与初始解所求得的基线向量的一致性检验
2. 整数解和初始解的单位权中误差的一致性检验
3. 整数解中的最小单位权中误差与次最小单位权中误差间的显著性检验，（ratio检验）
   由于csdn这个保存功能好奇葩，码了好久的字一下就没了，所以对于这三项统计检验就不多叙述了。

只要这三项统计检验不通过，需要返工或者扩大置信区间讲正确值包含进来。

4.LAMBDA法

LAMBDA法全称最小二乘模糊度降相关平差法（Least-square AMBiguity Decorrelation Adjustment）是由荷兰Delft大学的Teunissen教授提出的。该方法可缩小搜索的范围，加快搜索过程，是目前快速静态定位中最成功的一种模糊度搜索方法。

• 整数变换
  经典算法中在确定整数模糊度组合主要遇到问题为，由于观测时间短，初始解中的实数模糊度参数精度低，参数的相关性又很强。
  在LAMBDA中，不直接对实数模糊度参数进行搜索，而是先对初始解中的实数模糊度 N̂ 及其协因数阵QN̂ 进行整数变换。 N ^ 及 其 协 因 数 阵 Q N ^ 进 行 整 数 变 换 。
  
  ẑ =ZT^˙N̂  z ^ = Z T ^ ˙ N ^
  
  
  Qẑ =ZT˙QN̂ ˙Z Q z ^ = Z T ˙ Q N ^ ˙ Z
  
  Z为整数变换矩阵，整数变换矩阵的特点：当N为整数是，整数变换后也为整数，反之亦然。在LAMBDA中，经过整数变换后的ẑ 之间的相关性降低，其协因数阵Qẑ 中的非对角线元素⩽0.5 Z 为 整 数 变 换 矩 阵 ， 整 数 变 换 矩 阵 的 特 点 ： 当 N 为 整 数 是 ， 整 数 变 换 后 也 为 整 数 ， 反 之 亦 然 。 在 L A M B D A 中 ， 经 过 整 数 变 换 后 的 z ^ 之 间 的 相 关 性 降 低 ， 其 协 因 数 阵 Q z ^ 中 的 非 对 角 线 元 素 ⩽ 0.5 ,模糊度参数的方差也能大幅度降低
• 搜索方法
  求整数变换后的 ẑ  z ^ 的整数最小二乘解，即：
  
  (ẑ −z)Q−1ẑ (ẑ −z)=min ( z ^ − z ) Q z ^ − 1 ( z ^ − z ) = m i n
  
  由于经过整数变换后的参数相关性降低，对于上式使用搜索算法将更为简便迅速。
  求出最优解 z z 后，在利用 Z Z 进行逆变换
  
  N=（ZT）−1˙z N = （ Z T ） − 1 ˙ z
  
  变换后的参数N满足下式：
  
  (N̂ −N)TQ−1N̂ (N̂ −N)=min ( N ^ − N ) T Q N ^ − 1 ( N ^ − N ) = m i n
  
  逆变换求得的参数 N N 就是我们最初要寻找的最佳的整数模糊度向量。
  书上讲到，通过对协因数阵Q−1N̂ 进行LTDL分解进行整数变换，但是具体方法并未进行详细的叙述 书 上 讲 到 ， 通 过 对 协 因 数 阵 Q N ^ − 1 进 行 L T D L 分 解 进 行 整 数 变 换 ， 但 是 具 体 方 法 并 未 进 行 详 细 的 叙 述